基礎問題集
数学2 指数対数「桁数の問題」の問題8 解説
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解説
方針・初手
正の整数 $N$ の桁数は、$\log_{10} N$ を用いて
$$ \lfloor \log_{10} N \rfloor + 1 $$
で求められる。
また、$N=10^{k+r}$（$k$ は整数、$0 \leqq r < 1$）と表せるとき、最高位の数は $10^r$ の値から判定できる。したがって、まず $\log_{10} 2^{2011}$ を求める。
解法1
**(1)**
$$ \log_{10} 2^{2011}=2011\log_{10}2=2011\times 0.3010=605.311 $$
よって、
$$ 10^{605}<2^{2011}<10^{606} $$
である。
したがって、$2^{2011}$ は $606$ 桁の整数である。
**(2)**
上で求めた値を用いると、
$$ 2^{2011}=10^{605.311}=10^{0.311}\cdot 10^{605} $$
となる。
ここで、
$$ \log_{10}2=0.3010,\quad \log_{10}3=0.4771 $$
であり、
$$ 0.3010<0.311<0.4771 $$
だから、対数の単調性より
$$ 2<10^{0.311}<3 $$
となる。
したがって、
$$ 2\times 10^{605}<2^{2011}<3\times 10^{605} $$
であるから、$2^{2011}$ の最高位の数は $2$ である。
解説
桁数の問題では、まず常用対数をとって $10^n$ と比較するのが基本である。
また、最高位の数を求めるときは、対数の整数部分ではなく小数部分に注目する。今回は
$$ \log_{10}2^{2011}=605.311 $$
の小数部分 $0.311$ を見て、$10^{0.311}$ が $2$ と $3$ の間にあることから最高位を判定する。
答え
**(1)**
$606$ 桁
**(2)**
最高位の数は $2$