解説

方針・初手

桁数は常用対数を用いて求める。 また、最高位の数字は、数を $10^n$ の形に直したときの仮数部分から判定する。

解法1

$$ 25^{26}=(5^2)^{26}=5^{52} $$

であるから、まずその常用対数を考える。

$$ \log_{10}(5^{52})=52\log_{10}5 $$

ここで

$$ \log_{10}5=\log_{10}\frac{10}{2}=1-\log_{10}2=1-0.3010=0.6990 $$

より、

$$ \log_{10}(25^{26})=52\times 0.6990=36.3480 $$

したがって、

$$ 25^{26}=10^{36.3480}=10^{0.3480}\times 10^{36} $$

となる。

ここで

$$ \log_{10}2=0.3010,\qquad \log_{10}3=0.4771 $$

であり、

$$ 0.3010<0.3480<0.4771 $$

だから、

$$ 2<10^{0.3480}<3 $$

である。よって

$$ 2\times 10^{36}<25^{26}<3\times 10^{36} $$

となるので、$25^{26}$ は $2$ で始まる数である。

また、$\log_{10}(25^{26})=36.3480$ であるから、桁数は

$$ 36+1=37 $$

桁である。

解説

正の整数 $N$ に対して、$\log_{10}N=k+\alpha$（$k$ は整数、$0\leqq \alpha<1$）なら、$N$ の桁数は $k+1$ 桁である。

また、

$$ N=10^{k+\alpha}=10^\alpha\cdot 10^k $$

より、$10^\alpha$ の値が $1$ 以上 $10$ 未満のどこにあるかを見ると、最高位の数字が分かる。 本問では $10^{0.3480}$ が $2$ 以上 $3$ 未満であることから、最高位は $2$ と分かる。

答え

**(ア)**

$37$

**(イ)**

$2$