解説

方針・初手

（1） は、$\log_{10}3$ を有理数と仮定して矛盾を導く。指数の形に直すと、素因数分解の一意性に反する。

（2） は、$\log_{10}3$ を直接はさむより、$3^{13}$ と $10^6,\ 10^{13/2}$ を比べるのが自然である。対数は単調増加なので、不等式をそのまま $\log_{10}3$ の評価に移せる。

（3） は、桁数の判定

$$ 10^{n-1}\leqq N<10^n $$

と

$$ \text{桁数}=n $$

を用いる。(2) の評価を $26\log_{10}3$ に適用すればよい。

解法1

**(1)**

$\log_{10}3$ が無理数であることを示す。

$\log_{10}3$ が有理数であると仮定する。すると、互いに素な整数 $p,\ q\ (q>0)$ を用いて

$$ \log_{10}3=\frac{p}{q} $$

と書ける。

両辺を底 $10$ の指数の形に直すと

$$ 3=10^{p/q} $$

であり、さらに両辺を $q$ 乗して

$$ 3^q=10^p $$

を得る。右辺を素因数分解すると

$$ 10^p=2^p5^p $$

であるから、

$$ 3^q=2^p5^p $$

となる。しかし左辺の素因数は $3$ のみであり、右辺の素因数は $2,\ 5$ のみである。これは素因数分解の一意性に反する。

よって仮定が誤りであり、

$$ \log_{10}3 $$

は無理数である。

**(2)**

$$ \frac{6}{13}<\log_{10}3<\frac12 $$

を示す。

まず上側を示す。$3^2=9<10$ であるから、

$$ 3^{13}<10^{13/2} $$

である。両辺の常用対数をとると

$$ 13\log_{10}3<\frac{13}{2} $$

より

$$ \log_{10}3<\frac12 $$

を得る。

次に下側を示す。実際に

$$ 3^{13}=1594323>10^6 $$

であるから、

$$ 3^{13}>10^6 $$

である。両辺の常用対数をとると

$$ 13\log_{10}3>6 $$

より

$$ \log_{10}3>\frac{6}{13} $$

を得る。

したがって

$$ \frac{6}{13}<\log_{10}3<\frac12 $$

が成り立つ。

**(3)**

$3^{26}$ の桁数を求める。

(2) より

$$ \frac{6}{13}<\log_{10}3<\frac12 $$

であるから、両辺を $26$ 倍して

$$ 12<26\log_{10}3<13 $$

を得る。ここで

$$ 26\log_{10}3=\log_{10}(3^{26}) $$

なので、

$$ 12<\log_{10}(3^{26})<13 $$

である。したがって

$$ 10^{12}<3^{26}<10^{13} $$

となる。

よって $3^{26}$ は $10^{12}$ 以上 $10^{13}$ 未満の整数であるから、桁数は $13$ 桁である。

解説

この問題の核は、対数を「指数に戻して考える」ことにある。

（1） では、有理数と仮定して指数方程式に直すと、素因数分解の一意性でただちに矛盾が出る。$\log_{10}2,\ \log_{10}3,\ \log_{10}5$ などの無理性では典型的な処理である。

（2） では、$\log_{10}3$ の値を直接扱う必要はない。$3^{13}$ をうまく比較できる数として $10^6,\ 10^{13/2}$ を選ぶのがポイントである。特に上側は $3^2<10$ から一気に処理できる。

（3） では、整数 $N$ の桁数が $\lfloor \log_{10}N\rfloor+1$ で与えられることを使っているが、この問題では不等式

$$ 10^{12}<3^{26}<10^{13} $$

まで出せば十分である。

答え

**(1)**

$\log_{10}3$ を有理数と仮定すると $3^q=10^p=2^p5^p$ となり、素因数分解の一意性に反する。よって $\log_{10}3$ は無理数である。

**(2)**

$$ \frac{6}{13}<\log_{10}3<\frac12 $$

である。

**(3)**

$3^{26}$ の桁数は $13$ 桁である。