解説

方針・初手

桁数や最高位は常用対数を用いて判定する。一般に正整数 $N$ が

$$ 10^{n-1}\leqq N<10^n $$

を満たすとき、$N$ は $n$ 桁である。

また、

$$ N=10^{k+\alpha}\qquad (0\leqq \alpha<1) $$

と書ければ、$10^\alpha$ の範囲から最高位の数が分かる。

（3） では、$3^{53}$ に最も近い $2$ の冪を調べればよい。$2^m$ は単調増加するので、隣り合う冪との距離比較で判定できる。

解法1

**(1)**

$$ \log_{10}3^{53}=53\log_{10}3 $$

であり、与えられた条件より

$$ 53\cdot 0.4771<\log_{10}3^{53}<53\cdot 0.4772 $$

したがって

$$ 25.2863<\log_{10}3^{53}<25.2916 $$

となる。よって

$$ 10^{25}<3^{53}<10^{26} $$

であるから、$3^{53}$ は $26$ 桁である。

**(2)**

上の結果より

$$ 3^{53}=10^{25}\cdot 10^\theta \qquad (0.2863<\theta<0.2916) $$

と書ける。

ここで

$$ 0.2916<0.3010<\log_{10}2 $$

より、

$$ 1<10^\theta<2 $$

である。したがって

$$ 10^{25}<3^{53}<2\cdot 10^{25} $$

となるから、最高位の数は $1$ である。

つぎに、$3$ の累乗の 1 の位は

$$ 3,\ 9,\ 7,\ 1 $$

と周期 $4$ で繰り返す。$53\equiv 1\pmod{4}$ であるから、$3^{53}$ の 1 の位は $3$ である。

**(3)**

$3^{53}$ に最も近い $2$ の冪を調べるために、$2^{84}$ と比較する。

$$ \log_{10}\frac{3^{53}}{2^{84}} =53\log_{10}3-84\log_{10}2 $$

であるから、与えられた条件より

$$ 53\cdot 0.4771-84\cdot 0.3011 < \log_{10}\frac{3^{53}}{2^{84}} < 53\cdot 0.4772-84\cdot 0.3010 $$

すなわち

$$ -0.0061 < \log_{10}\frac{3^{53}}{2^{84}} < 0.0076 $$

を得る。

一方、

$$ \log_{10}\frac34=\log_{10}3-2\log_{10}2 <0.4772-2\cdot 0.3010=-0.1248 $$

および

$$ \log_{10}\frac32=\log_{10}3-\log_{10}2

> 0.4771-0.3011=0.1760 > $$

であるから、

$$

\log_{10}\frac34 < \log_{10}\frac{3^{53}}{2^{84}} < \log_{10}\frac32

$$

が成り立つ。よって対数関数の単調増加性から

$$

\frac34<\frac{3^{53}}{2^{84}}<\frac32

すなわち

$$ \frac34\,2^{84}<3^{53}<\frac32\,2^{84} $$

である。

左の不等式は、$3^{53}$ が $2^{83}$ より $2^{84}$ に近いことを表し、右の不等式は、$3^{53}$ が $2^{85}$ より $2^{84}$ に近いことを表す。したがって、$|3^{53}-2^m|$ が最小となるのは

$$

m=84

$$

である。

解説

この問題では、常用対数によって大きさのオーダーをつかむことが中心となる。

（1） は桁数の基本公式そのものであり、$\log_{10}3^{53}$ が $25$ と $26$ の間にあることを示せば終わりである。

（2） の最高位では、$3^{53}=10^{25}\cdot 10^\theta$ とおいて、$10^\theta$ が $1$ 以上 $2$ 未満に入ることを示すのが要点である。1 の位は周期性で処理する。

（3） は単に $53\log_{10}3/\log_{10}2$ を概算するだけでは不十分で、どの $2^m$ に最も近いかを距離で判定する必要がある。そこで $2^{84}$ との比が $\frac34$ と $\frac32$ の間にあることを示すと、両隣の $2^{83},2^{85}$ より $2^{84}$ に近いことが一度に分かる。

答え

**(1)**

$26$ 桁

**(2)**

最高位の数は $1$、1 の位の数は $3$

**(3)**

$m=84$