解説

方針・初手

対数の大小比較は，対数関数が単調増加であることを用いて，もとの数の大小比較に帰着させるのが基本である。

また，桁数は

$$ 10^{n-1} \leqq N < 10^n $$

を満たす整数 $n$ を求めればよい。

無理数であることの証明は，有理数と仮定して指数方程式に直し，素因数分解の一意性に矛盾させる。

解法1

**(1)**

$2^{10}=1024,\ 2^{13}=8192$ を用いる。

まず

$$ 2^{10}=1024>1000=10^3 $$

より，常用対数をとると

$$ 10\log_{10}2>3 $$

となるから，

$$ \log_{10}2>\frac{3}{10} $$

である。

次に

$$ 2^{13}=8192<10000=10^4 $$

より，常用対数をとると

$$ 13\log_{10}2<4 $$

となるから，

$$ \log_{10}2<\frac{4}{13} $$

である。

したがって

$$ \frac{3}{10}<\log_{10}2<\frac{4}{13} $$

が示された。

**(2)**

$$ \log_{10}(2^{100})=100\log_{10}2 $$

である。

（1） より

$$ \frac{3}{10}<\log_{10}2<\frac{4}{13} $$

なので，両辺を $100$ 倍して

$$ 30<100\log_{10}2<\frac{400}{13} $$

を得る。

ここで

$$ \frac{400}{13}<31 $$

であるから，

$$ 30<\log_{10}(2^{100})<31 $$

となる。

よって

$$ 10^{30}<2^{100}<10^{31} $$

である。

したがって，$2^{100}$ は $31$ 桁の数である。

**(3)**

$\log_{10}2$ が有理数であると仮定する。

すると，互いに素な整数 $p,q\ (q>0)$ を用いて

$$ \log_{10}2=\frac{p}{q} $$

と表せる。

このとき

$$ q\log_{10}2=p $$

より

$$ \log_{10}(2^q)=\log_{10}(10^p) $$

となるから，

$$ 2^q=10^p $$

を得る。

右辺を素因数分解すると

$$ 10^p=2^p5^p $$

であるから，

$$ 2^q=2^p5^p $$

すなわち

$$ 2^{q-p}=5^p $$

となる。

しかし，左辺は $2$ の冪，右辺は $5$ の冪であり，$p>0$ のとき両者が等しくなることはない。これは素因数分解の一意性に反する。

よって仮定が誤りであり，

$$ \log_{10}2 $$

は無理数である。

解説

この問題の要点は3つある。

まず （1） では，対数そのものを直接評価するのではなく，$2^{10}$ や $2^{13}$ を $10^3,\ 10^4$ と比較することで，不等式を作っている。対数の評価では典型的な処理である。

次に （2） では，桁数判定

$$ 10^{n-1}\leqq N<10^n $$

を使う。そのために $\log_{10}(2^{100})$ が $30$ と $31$ の間にあることを示せば十分である。

最後に （3） は，有理数と仮定して指数の形に直し，$2$ と $5$ という異なる素数の冪が等しくなる矛盾を出すのが本質である。常用対数が無理数であることの標準的な証明である。

答え

**(1)**

$$ \frac{3}{10}<\log_{10}2<\frac{4}{13} $$

**(2)**

$2^{100}$ は $31$ 桁である。

**(3)**

$\log_{10}2$ は無理数である。