解説

方針・初手

2進法での桁数は、$2$ の何乗の間にその数があるかを調べればよい。

一般に、正の整数 $N$ が

$$ 2^{n-1} \leqq N < 2^n $$

を満たすとき、$N$ の2進法での桁数は $n$ 桁である。

したがって、$12^{100}$ に対して $\log_2$ をとり、その値の整数部分を調べる。

解法1

まず、

$$ 12=3\cdot 2^2 $$

であるから、

$$ 12^{100}=(3\cdot 2^2)^{100}=3^{100}\cdot 2^{200} $$

となる。

ここで $\log_2$ をとると、

$$ \log_2 12^{100} =100\log_2 12 =100(\log_2 3+\log_2 2^2) =100(1.585+2) =358.5 $$

したがって、

$$ 2^{358}<12^{100}<2^{359} $$

である。

よって、$12^{100}$ を2進法で表したときの桁数は

$$ 359 $$

桁である。

解説

2進法での桁数は、10進法での桁数と同様に「その数が底の何乗の間にあるか」で決まる。

この問題では $12=3\cdot 2^2$ と分解できるため、$\log_2 3$ の値をそのまま利用できる。計算して得られる $\log_2 12^{100}=358.5$ は整数ではないので、桁数は

$$ \lfloor 358.5 \rfloor +1=359 $$

と判断できる。

答え

$359$ 桁である。