解説

方針・初手

$3^x$ を1つの文字でおくと、指数方程式が3次方程式に変わる。 そこで

$$ t=3^x \quad (t>0) $$

とおいて整理し、$t$ の方程式を因数分解する。

解法1

$t=3^x$ とおくと、与えられた方程式は

$$ 27t^3-93t^2+37t-3=0 $$

となる。

まず、整数解を調べると $t=3$ を代入して

$$ 27\cdot 3^3-93\cdot 3^2+37\cdot 3-3 =729-837+111-3=0 $$

より、$t=3$ はこの3次方程式の解である。 したがって $(t-3)$ を因数にもつ。

実際に割ると

$$ 27t^3-93t^2+37t-3 =(t-3)(27t^2-12t+1) $$

である。

さらに2次式を因数分解すると

$$ 27t^2-12t+1 =(9t-1)(3t-1) $$

だから、

$$ (t-3)(9t-1)(3t-1)=0 $$

となる。

よって

$$ t=3,\ \frac13,\ \frac19 $$

である。

ここで $t=3^x$ であったから、

$$ 3^x=3 \Rightarrow x=1 $$

$$ 3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1 $$

$$ 3^x=\frac19 \Rightarrow x=-2 $$

したがって、すべての実数解は

$$ x=1,-1,-2 $$

である。

これらの積は

$$ 1\cdot(-1)\cdot(-2)=2 $$

となる。

解説

この問題の要点は、指数部分 $3^x$ を1つの文字に置き換えて、通常の代数方程式として処理することである。

また、$t=3^x$ とおけば必ず $t>0$ であるが、今回得られた3つの解はいずれも正なので、そのまますべて実数解 $x$ に対応する。 因数分解まで進めば、あとは $3^x=3^k$ の形に直して終わりである。

答え

実数解は

$$ x=1,-1,-2 $$

であり、その積は

$$ 2 $$

である。