解説

方針・初手

$2^x,\ 3^y,\ 5^z$ をそれぞれ1つの文字で置くと，3本の式が整った代数方程式になる。

特に

$$ a=2^x,\quad b=3^y,\quad c=5^z $$

とおくと，第2式は $4^x=a^2,\ 9^y=b^2$ と書けるので処理しやすい。

解法1

$$ a=2^x,\quad b=3^y,\quad c=5^z $$

とおくと，もとの連立方程式は

$$ c-2ab=-139,\quad a^2+b^2+c=150,\quad a+c=13 $$

となる。

まず第3式より

$$ c=13-a $$

である。

これを第1式に代入すると

$$ 13-a-2ab=-139 $$

すなわち

$$ a+2ab=152 $$

となるから，

$$ a(1+2b)=152 $$

を得る。

ここで $a=2^x>0,\ c=5^z>0$ であり，さらに $a+c=13$ より

$$ 0<a<13 $$

である。 また $a$ は $2$ のべきであるから，

$$ a\in{1,2,4,8} $$

に限られる。

それぞれについて $c=13-a$ を調べると，

• $a=1$ のとき $c=12$
• $a=2$ のとき $c=11$
• $a=4$ のとき $c=9$
• $a=8$ のとき $c=5$

となる。 このうち $c=5^z$ となるのは $c=5$ の場合だけであるから，

$$ a=8,\quad c=5 $$

である。

すると

$$ a(1+2b)=152 $$

に代入して

$$ 8(1+2b)=152 $$

$$ 1+2b=19 $$

$$ b=9 $$

を得る。

したがって

$$ 2^x=8,\quad 3^y=9,\quad 5^z=5 $$

より

$$ x=3,\quad y=2,\quad z=1 $$

である。

最後に確認すると，

$$ 5^1-2^{3+1}\cdot 3^2=5-16\cdot 9=5-144=-139 $$

$$ 4^3+9^2+5^1=64+81+5=150 $$

$$ 2^3+5^1=8+5=13 $$

で，すべて満たす。

解説

この問題の要点は，指数式をそのまま扱わず

$$ 2^x,\ 3^y,\ 5^z $$

を新しい文字に置き換えることである。

さらに第3式 $2^x+5^z=13$ が強く，$2^x$ が取りうる値をすぐに絞れる。 $2$ のべきと $5$ のべきの組で和が $13$ になるものを探すと一気に候補が減り，残りは第1式で確定する。

答え

$$ (x,y,z)=(3,2,1) $$