解説

方針・初手

$9^x$ と $3^{x+1}$ が現れているので、$3^x$ でそろえるのが基本方針である。

$9^x=(3^x)^2$ と変形できるから、$t=3^x$ とおくと二次不等式に帰着できる。

解法1

与えられた不等式は

$$ 9^x-4\cdot 3^{x+1}+27<0 $$

である。

ここで

$$ 9^x=(3^x)^2,\qquad 4\cdot 3^{x+1}=12\cdot 3^x $$

より、不等式は

$$ (3^x)^2-12\cdot 3^x+27<0 $$

となる。

そこで

$$ t=3^x \quad (t>0) $$

とおくと、

$$ t^2-12t+27<0 $$

を解けばよい。

これを因数分解すると

$$ (t-3)(t-9)<0 $$

となるから、

$$ 3<t<9 $$

である。

$t=3^x$ に戻すと

$$ 3<3^x<9 $$

となる。

底 $3$ は $1$ より大きいので、指数関数 $3^x$ は単調増加である。したがって

$$ 1<x<2 $$

を得る。

解説

指数の不等式で、$9^x$ と $3^{x+1}$ のように底がそろえられる形は、まず底をそろえて $3^x$ を一つの文字でおくのが定石である。

この問題では $t=3^x$ とおくことで、二次不等式

$$ t^2-12t+27<0 $$

に直せる。あとは因数分解して範囲を求め、最後に $t=3^x$ に戻せばよい。

答え

$$ 1<x<2 $$