基礎問題集
数学2 指数対数「指数関数」の問題4 解説
数学2の指数対数「指数関数」にある問題4の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$2^x$ をひとまとまりに見ると、式全体は $2^x$ についての三次式になっている。そこでまず $2^x$ をくくり出し、さらに $2^x=t$ とおけば二次方程式として処理できる。
解法1
与えられた方程式は
$$ 2^{3x}-3\cdot 2^{2x}+2^{x+1}=0 $$
である。
各項に $2^x$ が含まれているので、$2^x$ でくくると
$$ 2^x\left(2^{2x}-3\cdot 2^x+2\right)=0 $$
となる。
ここで、指数関数の値は常に正であるから
$$ 2^x>0 $$
であり、$2^x=0$ とはならない。したがって
$$ 2^{2x}-3\cdot 2^x+2=0 $$
を解けばよい。
ここで
$$ t=2^x \quad (t>0) $$
とおくと、
$$ t^2-3t+2=0 $$
となる。これを因数分解すると
$$ (t-1)(t-2)=0 $$
であるから、
$$ t=1,\ 2 $$
を得る。
$t=2^x$ に戻すと、
**(i)**
$2^x=1$ のとき
$$ x=0 $$
**(ii)**
$2^x=2$ のとき
$$ x=1 $$
よって、求める解は
$$ x=0,\ 1 $$
である。
解説
この問題の要点は、指数が $3x,2x,x+1$ と並んでいるので、$2^x$ を1つの文字とみなすことで多項式の問題に直すことである。
特に、最初に $2^x$ をくくり出したあと、$2^x>0$ だから $2^x=0$ は起こらない、という確認を落とさないことが重要である。指数方程式では、このように「置換して二次方程式に帰着する」形が典型である。
答え
$$ x=0,\ 1 $$