解説

方針・初手

$8^x=(2^x)^3$ であるから，$t=2^x$ とおくと式全体を $t$ の三次式に直せる。

このとき $t=2^x>0$ であり，$x$ と $t$ は $t=\log_2 t$ により1対1に対応する。したがって，$f(x)=0$ の解の個数は，対応する三次方程式の正の解の個数を調べればよい。

解法1

**(1)**

$t=2^x$ とおくと，

$$ 8^x=(2^x)^3=t^3 $$

であるから，

$$ f(x)=0 $$

は

$$ t^3-3t+a=0 $$

と表される。ただし，

$$ t=2^x>0 $$

である。

**(2)**

$$ g(t)=t^3-3t+a $$

とおく。求めるのは $g(t)=0$ の正の解の個数である。

まず微分すると，

$$ g'(t)=3t^2-3=3(t^2-1) $$

となるので，

• $0<t<1$ では $g'(t)<0$
• $t>1$ では $g'(t)>0$

である。したがって，$g(t)$ は $0<t<1$ で減少し，$t>1$ で増加する。

また，

$$ g(1)=1-3+a=a-2 $$

であり，さらに

$$ \lim_{t\to +0}g(t)=a,\qquad \lim_{t\to\infty}g(t)=\infty $$

である。

ここで場合分けする。

**(i)**

$a>2$ のとき

$$ g(1)=a-2>0 $$

であり，$0<t<1$ では減少しても正，$t>1$ では増加するから，$g(t)=0$ は正の解をもたない。

よって $f(x)=0$ の解は $0$ 個である。

**(ii)**

$a=2$ のとき

$$ g(1)=0 $$

であり，$t=1$ が正の解である。しかも $t=1$ で極小値 $0$ をとるので，正の解はこれ1つだけである。

よって $f(x)=0$ の解は $1$ 個である。

**(iii)**

$0<a<2$ のとき

$$ \lim_{t\to+0}g(t)=a>0,\qquad g(1)=a-2<0 $$

より，$0<t<1$ に1個の正の解をもつ。

さらに，$g(1)<0$ かつ $\lim_{t\to\infty}g(t)=\infty$ より，$t>1$ にも1個の正の解をもつ。

したがって正の解は2個であり，$f(x)=0$ の解も $2$ 個である。

**(iv)**

$a\leq 0$ のとき

まず $a<0$ なら，

$$ \lim_{t\to+0}g(t)=a<0,\qquad g(1)=a-2<0 $$

であるから $0<t<1$ には正の解をもたない。一方，$t>1$ では増加し，しかも $\lim_{t\to\infty}g(t)=\infty$ なので，$t>1$ にただ1個の正の解をもつ。

また $a=0$ のときは

$$ t^3-3t=0 $$

すなわち

$$ t(t^2-3)=0 $$

であり，$t>0$ より $t=\sqrt{3}$ のみが適する。

したがって $a\leq 0$ のとき，$f(x)=0$ の解は $1$ 個である。

解説

この問題の要点は，指数の底が $8$ と $2$ でそろっているので，$t=2^x$ と置換して三次方程式に直すことである。

ただし，$t=2^x$ には $t>0$ という条件がある。三次方程式の実数解をそのまま数えるのではなく，正の解だけを数えなければならない点が重要である。

その後は，三次関数 $g(t)=t^3-3t+a$ の増減と $g(1)=a-2$ の符号を見れば，解の個数を正確に判定できる。

答え

**(1)**

$$ t^3-3t+a=0 \qquad (t>0) $$

**(2)**

$f(x)=0$ の解の個数は，

$$ \begin{cases} 0 \text{個} & (a>2)\\ 1 \text{個} & (a=2)\\ 2 \text{個} & (0<a<2)\\ 1 \text{個} & (a\leq 0) \end{cases} $$

である。