解説

方針・初手

$2^x$ と $2^{-x}$ が対になって現れているので，まず

$$ u=2^x \quad (u>0) $$

とおくと整理しやすい。すると

$$ t=u+\frac{1}{u} $$

となり，$u+\dfrac{1}{u}$ の基本性質から $t$ の範囲が求まる。また，$y$ も $u^2+\dfrac{1}{u^2}$ を用いれば $t$ で表せる。

そのうえで，$y$ を $t$ の2次関数として見れば最小値や，$y=a$ となる $x$ の個数も処理できる。

解法1

$u=2^x \ (u>0)$ とおくと，

$$ t=u+\frac{1}{u} $$

であり，

$$ y=u^2-6u-6\frac{1}{u}+\frac{1}{u^2} $$

となる。

（1） $t$ の最小値

相加平均と相乗平均の関係より，

$$ u+\frac{1}{u}\geqq 2 $$

である。等号成立は $u=1$ のとき，すなわち $2^x=1$，よって $x=0$ のときである。

したがって，$t$ の最小値は

$$ 2 $$

である。

（2） $y$ を $t$ の式で表す

まず，

$$ \left(u+\frac{1}{u}\right)^2=u^2+2+\frac{1}{u^2} $$

より，

$$ u^2+\frac{1}{u^2}=t^2-2 $$

である。これを用いると，

$$ \begin{aligned} y&=u^2+\frac{1}{u^2}-6\left(u+\frac{1}{u}\right) \\ &=(t^2-2)-6t \\ &=t^2-6t-2 \end{aligned} $$

となる。

（3） $y$ の最小値

（1） より $t\geqq 2$ であり，（2） より

$$ y=t^2-6t-2=(t-3)^2-11 $$

である。

$t\geqq 2$ の範囲で見ると，$t=3$ は許されるので，このとき $y$ は最小となる。したがって最小値は

$$ -11 $$

である。

（4） $y=a$ となる $x$ の個数

$y=a$ は

$$ t^2-6t-2=a $$

すなわち

$$ (t-3)^2=a+11 $$

と書ける。

ここで $t\geqq 2$ であることに注意して，$t$ の個数を調べる。

まず，$a<-11$ なら右辺が負となるので解なしである。

$a=-11$ なら

$$ t=3 $$

のみである。

$-11<a<-10$ なら

$$ t=3\pm \sqrt{a+11} $$

の2つがあり，どちらも $2$ より大きい。

$a=-10$ なら

$$ t=3\pm 1=2,4 $$

の2つである。

$a>-10$ なら

$$ t=3-\sqrt{a+11}<2 $$

となるので不適，したがって

$$ t=3+\sqrt{a+11} $$

のみである。

次に，各 $t$ に対して $x$ の個数を調べる。

$t=2$ のときは

$$ u+\frac{1}{u}=2 $$

より $u=1$，すなわち $x=0$ で，$x$ は1個である。

$t>2$ のときは

$$ u+\frac{1}{u}=t $$

より

$$ u^2-tu+1=0 $$

となる。この2次方程式は相異なる2つの正の解をもち，それらは互いに逆数である。したがって対応する $x=\log_2 u$ も相異なる2個である。

以上より，$y=a$ となる $x$ の個数は

$$ \begin{cases} 0 & (a<-11) \\ 2 & (a=-11) \\ 4 & (-11<a<-10) \\ 3 & (a=-10) \\ 2 & (a>-10) \end{cases} $$

である。

解説

この問題の中心は，$2^x$ と $2^{-x}$ を別々に扱わず，$u=2^x$ とおいて

$$ u+\frac{1}{u} $$

の形にまとめることである。

特に，

$$ u+\frac{1}{u}\geqq 2 $$

と

$$ u^2+\frac{1}{u^2}=\left(u+\frac{1}{u}\right)^2-2 $$

の2つが決定的である。これによって $y$ が $t$ の2次関数となり，最小値も個数問題もすべて放物線の性質に帰着する。

（4） では，$t$ の個数と $x$ の個数が一致しない点に注意が必要である。$t=2$ のときだけ $x=0$ の1個，$t>2$ のときは対称性により $x$ が2個になる。

答え

**(1)**

$t$ の最小値は

$$ 2 $$

である。

**(2)**

$$ y=t^2-6t-2 $$

である。

**(3)**

$y$ の最小値は

$$ -11 $$

である。

**(4)**

$y=a$ となるような $x$ の個数は

$$ \begin{cases} 0 & (a<-11) \\ 2 & (a=-11) \\ 4 & (-11<a<-10) \\ 3 & (a=-10) \\ 2 & (a>-10) \end{cases} $$

である。