解説

方針・初手

三角形 $T_k$ の内部に入る条件を、曲線 $y=f_n(x)=2\times 10^{-nx}$ と三角形の斜辺との大小関係に直す。

$T_k$ は縦の幅が $\dfrac{1}{500}$ の細い三角形であり、点 $R$ は $x$ が増えるにつれて $T_1,T_2,T_3,\dots$ の順に対応する帯を通る。したがって、各 $k$ について「曲線が $T_k$ の内部を通るか」を判定し、その最初のものが $T_8$ になる条件を調べればよい。

解法1

三角形 $T_k$ の頂点は

$$ P_{k-1}\left(\frac{k-1}{500},0\right),\quad P_k\left(\frac{k}{500},0\right),\quad Q_k\left(\frac{k}{500},1\right) $$

である。

したがって、斜辺 $P_{k-1}Q_k$ の方程式は、傾きが

$$ \frac{1-0}{\frac{k}{500}-\frac{k-1}{500}}=500 $$

であるから、

$$ y=500\left(x-\frac{k-1}{500}\right)=500x-k+1 $$

となる。

よって、三角形 $T_k$ の内部は

$$ \frac{k-1}{500}<x<\frac{k}{500},\qquad 0<y<500x-k+1 $$

で表される。

いま、点 $R$ は曲線

$$ y=2\times 10^{-nx} $$

上を動く。そこで

$$ g(x)=(500x-k+1)-2\times 10^{-nx} $$

とおくと、

$$ g'(x)=500+2n(\log_e 10),10^{-nx}>0 $$

であるから、$g(x)$ は単調増加である。

また、左端 $x=\dfrac{k-1}{500}$ では

$$ 500x-k+1=0 $$

なので、

$$ g\left(\frac{k-1}{500}\right) =-2\times 10^{-n\frac{k-1}{500}}<0 $$

となる。したがって、曲線が三角形 $T_k$ の内部を通るための必要十分条件は、右端 $x=\dfrac{k}{500}$ で斜辺より下に来ること、すなわち

$$ g\left(\frac{k}{500}\right)>0 $$

である。

右端では $500x-k+1=1$ だから、

$$ g\left(\frac{k}{500}\right) =1-2\times 10^{-n\frac{k}{500}} $$

となり、条件は

$$ 2\times 10^{-n\frac{k}{500}}<1 $$

すなわち

$$ 10^{-n\frac{k}{500}}<\frac12 $$

である。常用対数をとると、

$$ -\frac{nk}{500}<\log_{10}\frac12=-\log_{10}2=-0.3010 $$

より

$$ \frac{nk}{500}>0.3010 $$

すなわち

$$ nk>150.5 $$

を得る。$n,k$ は整数であるから、これは

$$ nk\ge 151 $$

と同値である。

したがって、$R$ が最初に内部を通過する三角形が $T_8$ であるためには、

**(i)**

$T_7$ までは通らない

$$ 7n<151 $$

**(ii)**

$T_8$ は通る

$$ 8n\ge 151 $$

が必要十分である。

これを解くと、

$$ 7n\le 150,\qquad 8n\ge 151 $$

より

$$ n\le \frac{150}{7},\qquad n\ge \frac{151}{8}. $$

ゆえに

$$ 18.875\le n\le 21.428\cdots $$

となるので、自然数 $n$ は

$$ n=19,20,21 $$

である。

解説

この問題の本質は、各三角形 $T_k$ の内部に入る条件を、斜辺との上下関係に落とすことである。

斜辺の式は $y=500x-k+1$ であり、曲線 $y=2\times 10^{-nx}$ は単調減少する。一方、斜辺は $x$ に関して単調増加するので、その差は単調増加になる。したがって、各 $T_k$ について「内部を通るかどうか」は右端 $x=\dfrac{k}{500}$ だけを調べればよい。

そこから条件が $nk\ge 151$ という非常に簡潔な形になり、最初に通るのが $T_8$ である条件は

$$ 7n<151\le 8n $$

と一気に表せる。

答え

$$ n=19,20,21 $$