解説

方針・初手

（1） は対数の底をそろえて、対数不等式をふつうの2次不等式に直す。

（2） は $3^x$ を1つの文字で置くと2次関数になるので、その増減を区間つきで調べればよい。

解法1

（1） 不等式の解

まず、対数の真数条件より

$$ x>0,\quad 4-x>0 $$

であるから、

$$ 0<x<4 $$

である。

ここで、左辺を底 $2$ の対数に直すと

$$ 4\log_4 x=4\cdot \frac{\log_2 x}{\log_2 4}=4\cdot \frac{\log_2 x}{2}=2\log_2 x=\log_2 x^2 $$

したがって、与えられた不等式は

$$ \log_2 x^2\leqq \log_2(4-x)+1 $$

すなわち

$$ \log_2 x^2\leqq \log_2(4-x)+\log_2 2=\log_2{2(4-x)} $$

より

$$ \log_2 x^2\leqq \log_2(8-2x) $$

となる。

このとき、真数はともに正なので、対数関数の単調増加性より

$$ x^2\leqq 8-2x $$

である。これを整理すると

$$ x^2+2x-8\leqq 0 $$

$$ (x+4)(x-2)\leqq 0 $$

よって

$$ -4\leqq x\leqq 2 $$

これを真数条件 $0<x<4$ とあわせると

$$ 0<x\leqq 2 $$

である。

（2） 最大値・最小値

（1） より、考える範囲は

$$ 0<x\leqq 2 $$

である。

関数

$$ y=9^x-4\cdot 3^x+10 $$

において、$9^x=(3^x)^2$ であるから、

$$ t=3^x $$

とおくと

$$ y=t^2-4t+10 $$

となる。

ここで、$0<x\leqq 2$ より

$$ 1<3^x\leqq 9 $$

すなわち

$$ 1<t\leqq 9 $$

である。

したがって

$$ y=t^2-4t+10=(t-2)^2+6 $$

となるので、これは上に開く放物線であり、最小値は $t=2$ のときにとる。

$t=2$ のとき

$$ y=6 $$

であり、このとき

$$ 3^x=2 $$

より

$$ x=\log_3 2 $$

である。

次に最大値を考える。区間 $1<t\leqq 9$ において、$y=(t-2)^2+6$ は $t=2$ から離れるほど大きくなる。左端 $t=1$ は含まれないので、最大値は右端 $t=9$ でとる。

$t=9$ のとき

$$ y=9^2-4\cdot 9+10=81-36+10=55 $$

であり、$t=3^x=9$ より

$$ x=2 $$

である。

解説

この問題の要点は2つである。

1つ目は、対数不等式では真数条件を最初に確定することである。これを落とすと不要な解を混ぜる危険がある。

2つ目は、指数式 $9^x-4\cdot 3^x+10$ を $t=3^x$ と置いて2次関数に帰着することである。ただし、$x$ の範囲から $t$ の範囲が $1<t\leqq 9$ となり、左端が開区間であることに注意が必要である。最大値・最小値を判断するときは、この区間条件まで含めて見る必要がある。

答え

**(1)**

$$ 0<x\leqq 2 $$

**(2)**

最大値は

$$ 55 $$

そのとき

$$ x=2 $$

最小値は

$$ 6 $$

そのとき

$$ x=\log_3 2 $$