解説

方針・初手

根号の指数をそろえて整理する。特に、4乗根の部分はまとめて1つの4乗根にし、$\sqrt{7}$ との打ち消しを狙うと簡潔になる。

解法1

与えられた式を

$$ \sqrt[3]{64}\times \sqrt{7}\times \sqrt[4]{14}\times \frac{1}{\sqrt[4]{490}}\times \sqrt[4]{10}\times \frac{1}{\sqrt[4]{7}}\times \frac{1}{\sqrt[12]{2}} $$

と読む。

まず、

$$ \sqrt[3]{64}=4 $$

である。

次に、4乗根の部分をまとめると、

$$ \begin{aligned} \sqrt[4]{14}\times \frac{1}{\sqrt[4]{490}}\times \sqrt[4]{10}\times \frac{1}{\sqrt[4]{7}} &= \sqrt[4]{\frac{14\cdot 10}{490\cdot 7}} \end{aligned} $$

となる。

ここで、

$$ \begin{aligned} \frac{14\cdot 10}{490\cdot 7} &= \frac{140}{3430} \\ \frac{2}{49} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sqrt[4]{14}\times \frac{1}{\sqrt[4]{490}}\times \sqrt[4]{10}\times \frac{1}{\sqrt[4]{7}} &= \sqrt[4]{\frac{2}{49}} \\ \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{7}} \end{aligned} $$

となる。

したがって、元の式は

$$ 4\times \sqrt{7}\times \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{7}}\times \frac{1}{\sqrt[12]{2}} $$

となり、$\sqrt{7}$ が約されて

$$ 4\times \sqrt[4]{2}\times \frac{1}{\sqrt[12]{2}} $$

である。

ここで指数で表すと、

$$ \begin{aligned} \sqrt[4]{2}\times \frac{1}{\sqrt[12]{2}} &= 2^{1/4}\cdot 2^{-1/12} \\ 2^{1/6} \\ \sqrt[6]{2} \end{aligned} $$

だから、全体は

$$ 4\sqrt[6]{2} $$

となる。

解説

この問題の要点は、ばらばらに見える根号を同じ種類ごとにまとめることである。

特に4乗根の部分は、積と商を1つの4乗根にまとめると中身が大きく簡単になり、さらに$\sqrt{7}$ とちょうど打ち消し合う形が現れる。最後は指数法則

$$ a^m\cdot a^n=a^{m+n} $$

を用いて整理すればよい。

答え

$$ 4\sqrt[6]{2} $$