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数学2 指数対数「指数関数」の問題10 解説

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数学2指数対数指数関数問題10

解説

すべてを $3$ の累乗で表す。根号は分数指数に直すと、掛け算・割り算が指数の加減に変わるので処理しやすい。

与式の左辺を順に $3$ の累乗で表す。

まず、

$$ \sqrt[3]{3^2}=(3^2)^{\frac13}=3^{\frac23} $$

であり、

$$ \sqrt[4]{3}=3^{\frac14} $$

である。

次に、分母の $\sqrt[6]{3\sqrt3}$ を整理する。

$$ 3\sqrt3=3\cdot 3^{\frac12}=3^{\frac32} $$

したがって、

$$ \sqrt[6]{3\sqrt3}=\left(3^{\frac32}\right)^{\frac16}=3^{\frac{3}{12}}=3^{\frac14} $$

よって与式は

$$ 3^{\frac23}\times 3^{\frac14}\div 3^{\frac14} =3^{\frac23+\frac14-\frac14} =3^{\frac23} $$

となる。

これが $3^k$ に等しいので、

$$ k=\frac23 $$

この問題の要点は、根号をすべて分数指数に直して底をそろえることである。特に分母の $\sqrt[6]{3\sqrt3}$ は、そのまま扱うよりも、まず $3\sqrt3=3^{3/2}$ としてから6乗根をかけると一気に整理できる。

$$ k=\frac23 $$