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数学2 指数対数「指数関数」の問題11 解説

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数学2指数対数指数関数問題11

解説

$ a^{2x}=5 $ から $ a^x $ を直接求め、与式を $ a^x $ の式として整理するのが最も素直である。

また、

$$ \frac{u^3-v^3}{u-v}=u^2+uv+v^2 $$

という因数分解を使うと、与式はすぐに簡単になる。

$t=a^x$ とおくと、条件 $a>0$ より $t>0$ である。

このとき

$$ t^2=a^{2x}=5 $$

であるから、$t>0$ より

$$ t=\sqrt{5} $$

となる。

与式は

$$ \begin{aligned} \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}} &= \frac{t^3-t^{-3}}{t-t^{-1}} \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ t^3-t^{-3}=(t-t^{-1})(t^2+1+t^{-2}) $$

より、

$$ \frac{t^3-t^{-3}}{t-t^{-1}}=t^2+1+t^{-2} $$

となる。

したがって

$$ t^2+1+t^{-2}=5+1+\frac{1}{5}=\frac{31}{5} $$

ゆえに、求める値は

$$ \frac{31}{5} $$

である。

この問題の要点は、$a^{2x}=5$ から $a^x$ を1つの文字 $t$ に置き換えることである。

さらに、

$$ u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2) $$

を $u=t,\ v=t^{-1}$ に適用すれば、複雑に見える分数が一気に簡単になる。$a>0$ という条件があるため $a^x>0$ といえ、$a^x=\sqrt{5}$ と確定できる点も重要である。

$$ \frac{a^{3x}-a^{-3x}}{a^x-a^{-x}}=\frac{31}{5} $$