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数学2 指数対数「指数関数」の問題12 解説

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数学2指数対数指数関数問題12

解説

$9$ を $3$ のべきに直して，左右を同じ底の指数関数として比較する。底が $3>1$ であることを用いれば，指数同士の大小比較に帰着できる。

与えられた不等式

$$ 9^x \geqq 3^{x+3} $$

において，$9=3^2$ であるから，

$$ 9^x=(3^2)^x=3^{2x} $$

となる。したがって，不等式は

$$ 3^{2x} \geqq 3^{x+3} $$

と書き換えられる。

ここで，指数関数 $3^t$ は底が $3>1$ なので単調増加である。よって，指数を比較して

$$ 2x \geqq x+3 $$

である。

これを解くと，

$$ x \geqq 3 $$

となる。

この問題の要点は，底をそろえることである。$9$ をそのまま扱うのではなく，$9=3^2$ と見ることで，両辺を底 $3$ の指数に直せる。

底が $1$ より大きい指数関数は単調増加であるから，$3^A \geqq 3^B$ ならば $A \geqq B$ としてよい。この基本性質を使えば，一次不等式に落ちる。

$$ x \geqq 3 $$