解説

方針・初手

$8^x,4^x,2^{x+1}$ はいずれも $2^x$ で表せるので、$t=2^x \ (t>0)$ とおいて三次方程式に直すのが自然である。

解法1

$t=2^x \ (t>0)$ とおくと、

$$ 8^x=(2^3)^x=(2^x)^3=t^3,\qquad 4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2,\qquad 2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t $$

であるから、与えられた方程式は

$$ t^3-3t^2-3\cdot 2t+8=0 $$

すなわち

$$ t^3-3t^2-6t+8=0 $$

となる。

ここで $t=1$ を代入すると

$$ 1-3-6+8=0 $$

となるので、$t-1$ を因数にもつ。

実際に因数分解すると、

$$ t^3-3t^2-6t+8=(t-1)(t^2-2t-8) $$

さらに

$$ t^2-2t-8=(t-4)(t+2) $$

より、

$$ (t-1)(t-4)(t+2)=0 $$

を得る。

したがって

$$ t=1,\ 4,\ -2 $$

であるが、$t=2^x>0$ なので $t=-2$ は不適である。

よって

$$ 2^x=1,\ 4 $$

より、

$$ x=0,\ 2 $$

である。

解説

指数方程式では、底をそろえて $2^x$ などを1つの文字で置く方法が典型である。この問題では $8^x,4^x,2^{x+1}$ がすべて $2^x$ で整理できるため、置換するとただの因数分解の問題になる。

注意すべき点は、$t=2^x$ とおいた以上、$t>0$ を最後まで使うことである。三次方程式の解のうち $t=-2$ はこの条件に反するので除かなければならない。

答え

$x=0,\ 2$ である。