解説

方針・初手

距離そのものを直接最小化するより、距離の二乗を考える方が扱いやすい。

点 $P$ は $P(x,\frac{1}{x})$ と表せ、$x>0$ である。したがって、まず

$$ f(x)^2=(x-a)^2+\left(\frac{1}{x}-a\right)^2 $$

を整理し、$x+\frac{1}{x}$ に着目して最小値を調べる。

解法1

点 $P\left(x,\frac{1}{x}\right)$ と点 $A(a,a)$ の距離は

$$ f(x)=\sqrt{(x-a)^2+\left(\frac{1}{x}-a\right)^2} \qquad (x>0) $$

である。これが （1） の答えである。

次に最小値を求めるため、$f(x)^2$ を整理する。

$$ \begin{aligned} f(x)^2 &=(x-a)^2+\left(\frac{1}{x}-a\right)^2 \\ &=x^2-2ax+a^2+\frac{1}{x^2}-\frac{2a}{x}+a^2 \\ &=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-2a\left(x+\frac{1}{x}\right)+2a^2 \end{aligned} $$

ここで

$$ t=x+\frac{1}{x} $$

とおくと、$x>0$ より相加平均・相乗平均の関係から

$$ t=x+\frac{1}{x}\geqq 2 $$

である。また、

$$ x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=t^2-2 $$

より、

$$ \begin{aligned} f(x)^2 &=t^2-2-2at+2a^2 \\ &=(t-a)^2+a^2-2 \end{aligned} $$

となる。したがって、$t\geqq 2$ の範囲で $(t-a)^2$ を最小にすればよい。

**(i)**

$a\geqq 2$ のとき

$t=a$ とできれば最小である。実際、方程式

$$ x+\frac{1}{x}=a $$

は

$$ x^2-ax+1=0 $$

と同値であり、$a\geqq 2$ のとき判別式 $a^2-4\geqq 0$ だから正の実数解をもつ。よって $t=a$ は実現できる。

このとき

$$ f(x)^2=a^2-2 $$

となるから、

$$ f(x)_{\min}=\sqrt{a^2-2} $$

である。

**(ii)**

$1<a<2$ のとき

$t\geqq 2$ かつ $a<2$ であるから、$(t-a)^2$ は $t=2$ のとき最小となる。これは $x=1$ のときに実現される。

したがって

$$ f(x)^2=(2-a)^2+a^2-2 =2(a-1)^2 $$

より、

$$ f(x)_{\min}=\sqrt{2},(a-1) $$

である。

解説

この問題の要点は、距離 $f(x)$ をそのまま扱わず、$f(x)^2$ を整理して $x+\frac{1}{x}$ にまとめることである。

曲線 $y=\frac{1}{x}$ 上の点では $x>0$ が成り立つので、

$$ x+\frac{1}{x}\geqq 2 $$

という基本不等式が使える。これにより、変数 $x$ の問題が $t\geqq 2$ のもとでの二次式の最小化に置き換わり、場合分けも自然に現れる。

答え

**(1)**

$$ f(x)=\sqrt{(x-a)^2+\left(\frac{1}{x}-a\right)^2} \qquad (x>0) $$

**(2)**

$$ f(x)_{\min}= \begin{cases} \sqrt{2},(a-1) & (1<a<2),\\[4pt] \sqrt{a^2-2} & (a\geqq 2). \end{cases} $$