解説

方針・初手

$2^{3x},,2^{2x+1},,2^x$ が現れているので、$2^x$ を1つの文字でおくと三次方程式に直せる。 $2^x>0$ であることも後で使う。

解法1

$t=2^x$ とおくと、$t>0$ であり、

$$ 2^{3x}=t^3,\qquad 2^{2x+1}=2(2^x)^2=2t^2 $$

であるから、与えられた方程式は

$$ t^3-3\cdot 2t^2=5t-30 $$

すなわち

$$ t^3-6t^2-5t+30=0 $$

となる。

ここで、前半と後半をまとめて因数分解すると、

$$ \begin{aligned} t^3-6t^2-5t+30 &=t^2(t-6)-5(t-6)\\ &=(t-6)(t^2-5) \end{aligned} $$

したがって、

$$ (t-6)(t^2-5)=0 $$

より、

$$ t=6,\ \sqrt{5},\ -\sqrt{5} $$

を得る。

しかし $t=2^x>0$ であるから、$t=-\sqrt{5}$ は不適である。 よって

$$ 2^x=6 \quad \text{または} \quad 2^x=\sqrt{5} $$

となるので、

$$ x=\log_2 6 \quad \text{または} \quad x=\log_2 \sqrt{5} $$

である。

解説

指数方程式では、$2^x$ のような共通部分を $t$ とおいて多項式方程式に直すのが基本である。 この問題では $t^3-6t^2-5t+30$ をそのまま眺めても因数分解しにくいが、$t^2(t-6)-5(t-6)$ とまとめると共通因数 $(t-6)$ が現れる。

また、$t=2^x$ とおいた以上、必ず $t>0$ を確認し、負の解を除くことが重要である。

答え

$$ x=\log_2 6,\ \log_2 \sqrt{5} $$

である。