解説

方針・初手

$3^x+3^{-x}$ を $t$ とおくと、$9^x+9^{-x}$ も $t$ で表せる。 まず $9^x+9^{-x}$ を $t$ を用いて整理し、つぎに $t$ の取りうる範囲を確認して二次関数の最小値を求める。

解法1

$t=3^x+3^{-x}$ とおく。

このとき、

$$ 9^x+9^{-x}=(3^x)^2+(3^{-x})^2 $$

であるから、

$$ (3^x+3^{-x})^2=(3^x)^2+2\cdot 3^x\cdot 3^{-x}+(3^{-x})^2 =9^x+9^{-x}+2 $$

より、

$$ 9^x+9^{-x}=t^2-2 $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} y&=9^x+9^{-x}-6(3^x+3^{-x})+13\\ &=(t^2-2)-6t+13\\ &=t^2-6t+11 \end{aligned} $$

である。よって

$$ y=t^2-6t+11 $$

となるので、$\boxed{\text{カ}=6}$、$\boxed{\text{キ}=11}$ である。

つぎに $t$ の範囲を考える。$3^x>0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係より

$$ 3^x+3^{-x}\geqq 2\sqrt{3^x\cdot 3^{-x}}=2 $$

したがって、

$$ t\geqq 2 $$

である。よって $\boxed{\text{ク}=2}$ である。

ここで

$$ y=t^2-6t+11=(t-3)^2+2 $$

と変形できるので、$t\geqq 2$ の範囲で最小値は $t=3$ のときにとり、その値は

$$ 2 $$

である。したがって $\boxed{\text{サ}=2}$ である。

最後に、$t=3$ のときの $x$ を求める。

$$ 3^x+3^{-x}=3 $$

とし、$u=3^x,(>0)$ とおくと、

$$ u+\frac{1}{u}=3 $$

より、

$$ u^2-3u+1=0 $$

となる。これを解いて

$$ u=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2} $$

であるから、

$$ 3^x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2} $$

よって

$$ x=\log_3 \frac{3\pm \sqrt{5}}{2} $$

となる。したがって $\boxed{\text{ケ}=3}$、$\boxed{\text{コ}=5}$ である。

解説

$3^x+3^{-x}$ を文字でおくと、$9^x+9^{-x}$ がその二乗から処理できるのがポイントである。 また、$a+\dfrac{1}{a}\geqq 2$ は指数・対数分野で頻出であり、置換後の文字の範囲を決める基本手法である。

答え

$$ \text{カ}=6,\quad \text{キ}=11,\quad \text{ク}=2,\quad \text{ケ}=3,\quad \text{コ}=5,\quad \text{サ}=2 $$

したがって、

$$ y=t^2-6t+11,\qquad t\geqq 2 $$

であり、最小値は

$$ x=\log_3 \frac{3\pm \sqrt{5}}{2} $$

のとき

$$ 2 $$

である。