解説

方針・初手

共通の値を $t$ とおくと

$$ \log_2 x=\log_3 y=\log_4 z=\log_5 w=t $$

であるから、

$$ x=2^t,\quad y=3^t,\quad z=4^t,\quad w=5^t $$

と表せる。したがって比較したい量は

$$ x^{\frac12}=2^{\frac t2}=(2^{\frac12})^t,\quad y^{\frac13}=3^{\frac t3}=(3^{\frac13})^t,\quad z^{\frac14}=4^{\frac t4}=(4^{\frac14})^t,\quad w^{\frac15}=5^{\frac t5}=(5^{\frac15})^t $$

となる。まず $2^{1/2},3^{1/3},4^{1/4},5^{1/5}$ の大小を比べ、そのあと指数 $t$ の符号で場合分けすればよい。

解法1

まず

$$ 4^{\frac14}=(2^2)^{\frac14}=2^{\frac12} $$

より、

$$ 2^{\frac12}=4^{\frac14} $$

である。

次に $2^{1/2}$ と $3^{1/3}$ を比べる。両辺を $6$ 乗すると、

$$ \left(2^{\frac12}\right)^6=2^3=8,\qquad \left(3^{\frac13}\right)^6=3^2=9 $$

であるから、

$$ 2^{\frac12}<3^{\frac13} $$

を得る。

また $5^{1/5}$ と $2^{1/2}$ を比べるために両辺を $10$ 乗すると、

$$ \left(5^{\frac15}\right)^{10}=5^2=25,\qquad \left(2^{\frac12}\right)^{10}=2^5=32 $$

であるから、

$$ 5^{\frac15}<2^{\frac12} $$

となる。

以上より、

$$ 3^{\frac13}>2^{\frac12}=4^{\frac14}>5^{\frac15} $$

である。

ここで

$$ x^{\frac12}=(2^{\frac12})^t,\quad y^{\frac13}=(3^{\frac13})^t,\quad z^{\frac14}=(4^{\frac14})^t,\quad w^{\frac15}=(5^{\frac15})^t $$

であり、底はすべて $1$ より大きいので、$t$ の符号によって大小関係が変わる。

**(i)**

$t>0$ のとき

$t$ 乗は大小関係を保つから、

$$ y^{\frac13}>x^{\frac12}=z^{\frac14}>w^{\frac15} $$

である。

**(ii)**

$t=0$ のとき

$$ x=y=z=w=1 $$

より、

$$ x^{\frac12}=y^{\frac13}=z^{\frac14}=w^{\frac15}=1 $$

である。

**(iii)**

$t<0$ のとき

負の指数では大小関係が逆になるから、

$$ y^{\frac13}<x^{\frac12}=z^{\frac14}<w^{\frac15} $$

である。

解説

この問題の本質は、条件から $x,y,z,w$ を共通パラメータ $t$ で表すことである。すると比較は $2^{1/2},3^{1/3},4^{1/4},5^{1/5}$ の比較に帰着される。

ただし、そこで終わると不十分である。実際に比較したいのはそれらの $t$ 乗であり、$t$ が負であれば大小関係は逆転する。したがって、共通の値 $t$ の符号で場合分けするのが必要である。

答え

$\log_2 x=\log_3 y=\log_4 z=\log_5 w=t$ とおくと、

**(1)**

$t>0$ のとき

$$ y^{\frac13}>x^{\frac12}=z^{\frac14}>w^{\frac15} $$

**(2)**

$t=0$ のとき

$$ x^{\frac12}=y^{\frac13}=z^{\frac14}=w^{\frac15} $$

**(3)**

$t<0$ のとき

$$ y^{\frac13}<x^{\frac12}=z^{\frac14}<w^{\frac15} $$

となる。