基礎問題集
数学2 指数対数「指数関数」の問題18 解説
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解説
方針・初手
$2^x$ と $2^{-x}$ が対になって現れているので、$t=2^x+2^{-x}$ とおくと整理しやすい。
まず $y$ を $t$ で表し、そのあと $t$ の取りうる範囲を調べれば、$y$ の最小値が求まる。
解法1
$2^x=a$ とおくと、$a>0$ であり、
$$ t=a+\frac{1}{a} $$
である。
このとき
$$ y=a^2+a+\frac{1}{a}+\frac{1}{a^2} $$
であるから、
$$ a^2+\frac{1}{a^2}=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2-2=t^2-2 $$
を用いると、
$$ \begin{aligned} y&=\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(a+\frac{1}{a}\right)\\ &=(t^2-2)+t\\ &=t^2+t-2 \end{aligned} $$
となる。
次に、$a=2^x>0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係より
$$ a+\frac{1}{a}\geqq 2 $$
したがって
$$ t\geqq 2 $$
である。
ここで
$$ y=t^2+t-2 $$
は $t\geqq 2$ の範囲で増加する。実際、
$$ \frac{d}{dt}(t^2+t-2)=2t+1>0 $$
であるから、$t$ が最小のとき $y$ も最小になる。
$t=2$ のとき最小であり、そのとき
$$ y=2^2+2-2=4 $$
となる。
さらに、$t=2$ となるのは
$$ 2^x+2^{-x}=2 $$
のときであり、これは
$$ 2^x=1 $$
すなわち
$$ x=0 $$
のときである。
よって、$y$ は $x=0$ のとき最小値 $4$ をとる。
解説
この問題の核心は、$2^x$ と $2^{-x}$ を別々に扱わず、$t=2^x+2^{-x}$ とまとめることである。
すると $2^{2x}+2^{-2x}$ も $t^2-2$ と表せるため、式全体が $t$ の2次式になる。あとは $t\geqq 2$ を使えば、最小値の議論が一気に簡単になる。
答え
$$ y=t^2+t-2 $$
$$ t\geqq 2 $$
したがって、$y$ は $x=0$ のとき最小値 $4$ をとる。