解説

方針・初手

$2^x$ を文字で置くと式が整理しやすい。 $4^x=(2^x)^2,;4^{-x}=(2^{-x})^2$ であるから，

$$ 4^x+4^{-x}=14 $$

を $2^x+2^{-x}$ の式に結びつける。

解法1

$t=2^x;(>0)$ とおくと，$2^{-x}=\dfrac{1}{t}$ である。

すると与式は

$$ t^2+\frac{1}{t^2}=14 $$

となる。

ここで，

$$ \left(t+\frac{1}{t}\right)^2=t^2+2+\frac{1}{t^2} $$

であるから，

$$ \left(t+\frac{1}{t}\right)^2=14+2=16 $$

よって

$$ t+\frac{1}{t}=4 $$

となる。$t=2^x>0$ より $t+\dfrac{1}{t}>0$ なので，負の値はとらない。

したがって，

$$ 2^x+2^{-x}=4 $$

である。

次に，

$$ t+\frac{1}{t}=4 $$

に $t$ をかけると

$$ t^2-4t+1=0 $$

となる。これを解いて，

$$ t=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2} =2\pm\sqrt{3} $$

を得る。

$t=2^x$ であったから，

$$ 2^x=2\pm\sqrt{3} $$

より

$$ x=\log_2(2\pm\sqrt{3}) $$

である。

解説

$4^x+4^{-x}$ が与えられたときは，$4^x=(2^x)^2$ と見て $2^x$ に直すのが基本方針である。 また，

$$ \left(a+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+2+\frac{1}{a^2} $$

という恒等式を使うと，$a^2+\dfrac{1}{a^2}$ から $a+\dfrac{1}{a}$ を求められる。 その後は $a=2^x$ とおいた2次方程式に帰着する。

答え

$$ \boxed{\text{キ}=4,\ \text{ク}=2,\ \text{ケ}=3} $$

したがって，

$$ 2^x+2^{-x}=4,\qquad x=\log_2(2\pm\sqrt{3}) $$

である。