基礎問題集

数学2 指数対数「指数関数」の問題20 解説

数学2の指数対数「指数関数」にある問題20の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。

MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。

数学2指数対数指数関数問題20

解説

$8^x,4^x,2^{x+1}$ はすべて $2^x$ で表せるので、$t=2^x,(>0)$ とおいて三次方程式に直すのが自然である。そのあと因数分解して $t$ を求め、最後に $2^x=t$ を解く。

$t=2^x,(>0)$ とおくと、

$$ 8^x=(2^3)^x=(2^x)^3=t^3,\qquad 4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2,\qquad 2^{x+1}=2\cdot 2^x=2t $$

であるから、もとの方程式は

$$ t^3-t^2-2t+2=0 $$

となる。

これを整理すると、

$$ t^2(t-1)-2(t-1)=0 $$

より、

$$ (t-1)(t^2-2)=0 $$

したがって、

$$ t=1,\ \sqrt{2},\ -\sqrt{2} $$

を得る。

ただし $t=2^x>0$ であるから、$t=-\sqrt{2}$ は不適である。よって、

$$ 2^x=1 \quad \text{または} \quad 2^x=\sqrt{2} $$

となる。

それぞれ解くと、

$$ x=0,\qquad x=\frac12 $$

である。

指数方程式では、底をそろえて $2^x$ などの文字に置き換えるのが基本方針である。この問題では $8^x,4^x,2^{x+1}$ がすべて $2^x$ の式に直せるため、三次方程式に帰着できる。

また、$t=2^x$ とおいた以上、$t>0$ であることを忘れず、因数分解後に出てくる負の解を除くことが重要である。

$$ x=0,\ \frac12 $$