解説

方針・初手

まず対数の定義域を確認する。

さらに、左辺は対数の和なので

$$ \log_a (x+6)+\log_a (x-1)=\log_a {(x+6)(x-1)} $$

とまとめられる。

そのうえで、底 $a$ が $a>1$ のときは対数関数が増加関数、$0<a<1$ のときは減少関数であるから、場合分けして真数どうしを比較する。

解法1

対数が定義されるためには

$$ x+6>0,\quad x-1>0,\quad 9x-7>0 $$

が必要である。

このうち $x-1>0$ より $x>1$ であり、このとき $9x-7>2>0$ となるから、結局定義域は

$$ x>1 $$

である。

したがって、もとの不等式は

$$ \log_a {(x+6)(x-1)}>\log_a (9x-7) $$

となる。

ここで底 $a$ の値によって場合分けする。

**(i)**

$a>1$ のとき

このとき $\log_a x$ は増加関数であるから、

$$ (x+6)(x-1)>9x-7 $$

と同値である。

整理すると

$$ x^2+5x-6>9x-7 $$

$$ x^2-4x+1>0 $$

となる。

二次方程式 $x^2-4x+1=0$ の解は

$$ x=2\pm \sqrt{3} $$

であるから、

$$ x^2-4x+1>0 $$

の解は

$$ x<2-\sqrt{3}\quad または\quad x>2+\sqrt{3} $$

である。

これを定義域 $x>1$ と合わせると、$2-\sqrt{3}<1$ なので

$$ x>2+\sqrt{3} $$

となる。

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

このとき $\log_a x$ は減少関数であるから、

$$ (x+6)(x-1)<9x-7 $$

と同値である。

整理すると

$$ x^2+5x-6<9x-7 $$

$$ x^2-4x+1<0 $$

となる。

したがって

$$ 2-\sqrt{3}<x<2+\sqrt{3} $$

である。

これを定義域 $x>1$ と合わせると

$$ 1<x<2+\sqrt{3} $$

となる。

解説

この問題の要点は2つである。

1つ目は、対数不等式では最初に定義域を確認することである。ここでは $x>1$ が本質的な条件になる。

2つ目は、底 $a$ の範囲によって対数関数の増減が変わることである。$a>1$ なら不等号の向きはそのまま、$0<a<1$ なら不等号の向きが逆になる。この処理を落とすと誤答になる。

答え

$$ a>1\ のとき\quad x>2+\sqrt{3} $$

$$ 0<a<1\ のとき\quad 1<x<2+\sqrt{3} $$