解説

方針・初手

対数不等式では、まず真数条件を確認する必要がある。

そのうえで、左辺の和を 1 つの対数にまとめる。ただし、底 $a$ が $0<a<1$ であるから、$\log_a x$ は減少関数であり、不等号の向きが逆になる点に注意する。

解法1

真数条件より、

$$ x+6>0,\quad x-1>0,\quad 9x-7>0 $$

でなければならない。

これを解くと

$$ x>-6,\quad x>1,\quad x>\frac79 $$

であるから、定義域は

$$ x>1 $$

となる。

この範囲で対数の性質を用いると、

$$ \log_a(x+6)+\log_a(x-1)=\log_a{(x+6)(x-1)} $$

である。したがって、与えられた不等式は

$$ \log_a{(x+6)(x-1)}>\log_a(9x-7) $$

となる。

ここで $0<a<1$ より、$\log_a x$ は減少関数である。よって、不等式は

$$ (x+6)(x-1)<9x-7 $$

と同値である。

左辺を展開すると、

$$ x^2+5x-6<9x-7 $$

すなわち

$$ x^2-4x+1<0 $$

である。

この 2 次不等式の解を求めるため、方程式

$$ x^2-4x+1=0 $$

を解くと、

$$ x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=2\pm\sqrt3 $$

である。よって、

$$ x^2-4x+1<0 $$

の解は

$$ 2-\sqrt3<x<2+\sqrt3 $$

となる。

最後に定義域 $x>1$ と合わせる。ここで

$$ 2-\sqrt3<1 $$

であるから、求める範囲は

$$ 1<x<2+\sqrt3 $$

である。

解説

この問題の要点は 2 つである。

1 つ目は、対数不等式では真数条件を最初に確認することである。これを落とすと、途中の変形が正しくても答えを誤る。

2 つ目は、底が $0<a<1$ のとき $\log_a x$ は減少関数であるため、不等号の向きが逆になることである。底が $a>1$ の場合と同じ感覚で処理すると間違いやすい。

答え

$$ 1<x<2+\sqrt3 $$