解説

方針・初手

まず対数の定義域を確認する。 $\log_2(x+1)$, $\log_4(x-1)$ がともに定義されるためには

$$ x+1>0,\quad x-1>0 $$

であり、結局 $x>1$ である。

次に、底をそろえて 1 つの対数不等式にまとめる。

解法1

定義域より

$$ x>1 $$

である。

また、

$$ \log_4(x-1)=\frac{\log_2(x-1)}{\log_2 4} =\frac{1}{2}\log_2(x-1) $$

だから、与えられた不等式

$$ \log_2(x+1)+4\log_4(x-1)>0 $$

は

$$ \log_2(x+1)+2\log_2(x-1)>0 $$

となる。さらに対数の性質より

$$ \log_2(x+1)+\log_2{(x-1)^2} =\log_2{(x+1)(x-1)^2} $$

であるから、

$$ \log_2{(x+1)(x-1)^2}>0 $$

を得る。底 $2$ は $1$ より大きいので、これは

$$ (x+1)(x-1)^2>1 $$

と同値である。

ここで左辺を展開すると

$$ (x+1)(x-1)^2 =(x+1)(x^2-2x+1) =x^3-x^2-x+1 $$

より、

$$ x^3-x^2-x+1>1 $$

すなわち

$$ x^3-x^2-x>0 $$

となる。これを因数分解すると

$$ x(x^2-x-1)>0 $$

である。

定義域 $x>1$ より $x>0$ なので、結局

$$ x^2-x-1>0 $$

を解けばよい。

方程式 $x^2-x-1=0$ の解は

$$ x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} $$

であるから、

$$ x^2-x-1>0 \iff x<\frac{1-\sqrt5}{2}\ \text{または}\ x>\frac{1+\sqrt5}{2} $$

となる。これと定義域 $x>1$ を合わせると、

$$ x>\frac{1+\sqrt5}{2} $$

である。

解説

この問題の要点は 2 つである。

まず、対数不等式では定義域の確認が最優先であり、ここでは $x>1$ が必要である。

次に、$\log_4(x-1)$ を $\log_2$ に直して底をそろえると、対数の和を 1 つにまとめられる。すると通常の代数的不等式に帰着できる。最後は定義域 $x>1$ があるため、因数 $x$ の符号を迷わず処理できる。

答え

$$ x>\frac{1+\sqrt5}{2} $$