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数学2 指数対数「対数関数」の問題4 解説

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数学2指数対数対数関数問題4

解説

対数の底と真数をそれぞれ同じ底の累乗で表す。すると

$$ \log_{a} b=\frac{\log c^m}{\log c^n}=\frac{m}{n} $$

の形に直せるので、各項を別々に計算して最後に足せばよい。

与式は

$$ \log_{\sqrt{3}} 9+\log_{\sqrt{2}} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) $$

である。

まず、$\sqrt{3}=3^{1/2}$、$9=3^2$ であるから、

$$ \log_{\sqrt{3}} 9=\log_{3^{1/2}} 3^2=\frac{2}{1/2}=4 $$

となる。

次に、$\sqrt{2}=2^{1/2}$、$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2^{-1/2}$ であるから、

$$ \log_{\sqrt{2}} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\log_{2^{1/2}} 2^{-1/2}=\frac{-1/2}{1/2}=-1 $$

したがって、与式の値は

$$ 4+(-1)=3 $$

である。

この問題では、根号を累乗の形に直すことが基本である。

対数 $\log_{c^n} c^m$ は

$$ \log_{c^n} c^m=\frac{m}{n} $$

と処理できるので、底と真数を同じ文字の累乗にそろえるのが最も速い。特に $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2^{-1/2}$ と指数を負で表せることを押さえておくことが重要である。

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