解説

方針・初手

$2^x,5^y,10^z$ がすべて等しいので、それらの共通の値を1つの文字でおくか、あるいは対数をとって $x,y,z$ の関係式を作ればよい。

ここでは常用対数を用いて、$x,y,z$ を同じ文字で表す。

解法1

$$ 2^x=5^y=10^z $$

より、共通の値を $k$ とおくと

$$ 2^x=5^y=10^z=k $$

である。両辺の常用対数をとると

$$ x\log 2=\log k,\qquad y\log 5=\log k,\qquad z=\log k $$

となる。したがって

$$ x=\frac{z}{\log 2},\qquad y=\frac{z}{\log 5} $$

である。

ここで求める式は

$$ xy-yz-zx $$

であるから、上の式を代入すると

$$ \begin{aligned} xy-yz-zx &= \frac{z}{\log 2}\cdot \frac{z}{\log 5} -\frac{z}{\log 5}\cdot z -\frac{z}{\log 2}\cdot z \end{aligned} $$

$$ z^2\left( \frac{1}{(\log 2)(\log 5)} -\frac{1}{\log 5} -\frac{1}{\log 2} \right) $$

ここで $\log 2+\log 5=\log 10=1$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{(\log 2)(\log 5)} -\frac{1}{\log 5} -\frac{1}{\log 2} &= \frac{1-(\log 2+\log 5)}{(\log 2)(\log 5)}\\ &=0 \end{aligned} $$

となる。よって

$$ xy-yz-zx=0 $$

である。

解説

この問題の要点は、$2^x=5^y=10^z$ から各指数をばらばらに扱うのではなく、対数をとって1本の関係にまとめることである。

特に $\log 2+\log 5=\log 10=1$ が決定打であり、式がきれいに消える。$x\ne 0$ は条件として与えられているが、最終結果はそれによらず $0$ になる。

答え

$$ xy-yz-zx=0 $$