解説

方針・初手

底が $2,4,8$ とすべて $2$ の冪でそろっているので、$\log_2 x$ に統一すると式が1変数の2次方程式になる。

ただし、対数があるので定義域は

$$ x>0 $$

である。

解法1

$t=\log_2 x$ とおく。

すると、底の変換より

$$ \log_8 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 8}=\frac{t}{3}, \qquad \log_4 x=\frac{\log_2 x}{\log_2 4}=\frac{t}{2} $$

となる。

これをもとの方程式

$$ (\log_2 x)(\log_8 x)+\log_4 x+\frac{1}{6}=0 $$

に代入すると、

$$ t\cdot \frac{t}{3}+\frac{t}{2}+\frac{1}{6}=0 $$

すなわち

$$ \frac{t^2}{3}+\frac{t}{2}+\frac{1}{6}=0 $$

である。両辺を $6$ 倍して

$$ 2t^2+3t+1=0 $$

これを因数分解すると

$$ (2t+1)(t+1)=0 $$

よって

$$ t=-\frac{1}{2},\ -1 $$

である。

$t=\log_2 x$ であったから、

**(i)**

$\log_2 x=-\dfrac{1}{2}$ のとき

$$ x=2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

**(ii)**

$\log_2 x=-1$ のとき

$$ x=2^{-1}=\frac{1}{2} $$

いずれも $x>0$ を満たすので、どちらも解である。

解説

この問題の要点は、対数の底をそろえることである。$2,4,8$ はすべて $2$ の冪なので、$\log_2 x$ にまとめればすぐに2次方程式に帰着する。

$\log_8 x=\dfrac{1}{3}\log_2 x$、$\log_4 x=\dfrac{1}{2}\log_2 x$ という変換を機械的にできるかが重要である。

答え

$$ x=\frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{2} $$