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数学2 指数対数「対数関数」の問題8 解説

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数学2指数対数対数関数問題8

解説

$1.4$ と $3.5$ を掛けると $4.9=\dfrac{49}{10}$ となり、ここから $\log_{10}7$ を含む式が作れる。

したがって、まず

$$ \log_{10}(1.4\times 3.5) $$

を $a,b$ で表し、その結果を $\log_{10}7$ に結びつける。

与えられた条件より、

$$ \log_{10}1.4=a,\qquad \log_{10}3.5=b $$

である。

ここで、

$$ 1.4\times 3.5=4.9=\frac{49}{10}=\frac{7^2}{10} $$

だから、

$$ \log_{10}1.4+\log_{10}3.5=\log_{10}(1.4\times 3.5)=\log_{10}\frac{7^2}{10} $$

となる。

左辺は $a+b$ であり、右辺は対数の性質より

$$ \log_{10}\frac{7^2}{10} =\log_{10}7^2-\log_{10}10 =2\log_{10}7-1 $$

である。

したがって、

$$ a+b=2\log_{10}7-1 $$

よって、

$$ 2\log_{10}7=a+b+1 $$

となるので、

$$ \log_{10}7=\frac{a+b+1}{2} $$

である。

この問題の要点は、与えられた $1.4,\ 3.5$ から $7$ を直接作ろうとするのではなく、積をとって $49=7^2$ を作ることである。

対数では積が和になるため、$\log_{10}1.4$ と $\log_{10}3.5$ をまとめると扱いやすい。特に、$1.4\times 3.5=\dfrac{7^2}{10}$ と変形できれば、$\log_{10}7$ を含む式にすぐ直せる。

$$ \log_{10}7=\frac{a+b+1}{2} $$