基礎問題集
数学2 指数対数「対数関数」の問題9 解説
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解説
方針・初手
指数にも底にも $x$ が含まれているので、そのまま扱うよりも $x$ を $2$ を底とする対数で置き換えるのが自然である。
このとき、対数の真数条件より $x>0$ であることに注意する。
解法1
方程式
$$ x^{\log_2 x}=64x $$
を考える。
まず、$\log_2 x$ が定義されるために
$$ x>0 $$
である。
ここで
$$ t=\log_2 x $$
とおくと、
$$ x=2^t $$
であるから、もとの方程式は
$$ (2^t)^t=64\cdot 2^t $$
となる。さらに $64=2^6$ より、
$$ 2^{t^2}=2^6\cdot 2^t=2^{t+6} $$
である。
よって指数を比較して
$$ t^2=t+6 $$
すなわち
$$ t^2-t-6=0 $$
を得る。これを因数分解すると
$$ (t-3)(t+2)=0 $$
であるから、
$$ t=3,\ -2 $$
である。
$t=\log_2 x$ に戻すと、
**(i)**
$t=3$ のとき
$$ x=2^3=8 $$
**(ii)**
$t=-2$ のとき
$$ x=2^{-2}=\frac14 $$
したがって、求める解は
$$ x=8,\ \frac14 $$
である。
解説
この問題の要点は、$x^{\log_2 x}$ のように底と指数の両方に $x$ がある形を、$x=2^t$ とおいて指数法則で整理することである。
$64$ が $2^6$ であるため、$\log_2 x$ と合わせてすべて $2$ のべきに統一でき、最後は2次方程式に帰着する。対数を含む方程式では、真数条件 $x>0$ を最初に確認することも重要である。
答え
$$ x=8,\ \frac14 $$