解説

方針・初手

まず，対数の真数条件を確認する。次に，対数の和を1つにまとめ，右辺の $-1$ も同じ底の対数に直す。底が $\dfrac{1}{8}$ で $0<\dfrac{1}{8}<1$ であるから，対数関数は単調減少であり，不等号の向きが逆になることに注意して処理する。

解法1

真数条件より

$$ x+1>0,\quad x-2>0,\quad x+4>0 $$

である。したがって

$$ x>2 $$

が必要である。

ここで，左辺は対数の性質より

$$ \log_{\frac18}(x+1)+\log_{\frac18}(x-2) =\log_{\frac18}{(x+1)(x-2)} $$

とまとめられる。

また，右辺の $-1$ は

$$ -1=\log_{\frac18}8 $$

と書ける。実際，

$$ \left(\frac18\right)^{-1}=8 $$

であるからである。よって右辺は

$$ \log_{\frac18}(x+4)-1 =\log_{\frac18}(x+4)+\log_{\frac18}8 =\log_{\frac18}{8(x+4)} $$

となる。

したがって，与えられた不等式は

$$ \log_{\frac18}{(x+1)(x-2)}\geqq \log_{\frac18}{8(x+4)} $$

と同値である。

ここで，底 $\dfrac18$ は $0<\dfrac18<1$ であるから，対数関数は単調減少である。したがって真数どうしを比べると，不等号の向きが逆になって

$$ (x+1)(x-2)\leqq 8(x+4) $$

となる。

これを整理すると

$$ x^2-x-2\leqq 8x+32 $$

すなわち

$$ x^2-9x-34\leqq 0 $$

である。

この2次方程式 $x^2-9x-34=0$ の解は

$$ x=\frac{9\pm\sqrt{81+136}}{2} =\frac{9\pm\sqrt{217}}{2} $$

であるから，

$$ x^2-9x-34\leqq 0 $$

の解は

$$ \frac{9-\sqrt{217}}{2}\leqq x\leqq \frac{9+\sqrt{217}}{2} $$

である。

これと真数条件 $x>2$ をあわせると，

$$ 2<x\leqq \frac{9+\sqrt{217}}{2} $$

となる。

解説

この問題の要点は2つである。

1つ目は，真数条件を先に確認することである。対数不等式では，途中で得た解だけを見て終えると定義域を落としやすい。

2つ目は，底が $\dfrac18$ のように $0$ と $1$ の間にあるとき，対数関数が単調減少になることである。そのため，真数を比較する段階で不等号の向きが逆になる。ここを逆にしないことが最重要である。

答え

$$ 2<x\leqq \frac{9+\sqrt{217}}{2} $$