解説

方針・初手

まず、対数の真数条件から

$$ x^2-2x>0 $$

が必要である。

また、右辺の底は $2a$ なので、条件 $a\neq \dfrac12$ は右辺の底が $1$ にならないための条件である。

不等式そのものは、$t=x^2-2x,(>0)$ とおいて、底の違う対数を換底公式で比較すると整理しやすい。

解法1

$t=x^2-2x$ とおくと、$t>0$ のもとで与えられた不等式は

$$ \log_a t\leqq \log_{2a}(2t) $$

となる。

ここで換底公式を用いると

$$ \frac{\log t}{\log a}\leqq \frac{\log(2t)}{\log(2a)} $$

である。両辺を移項して整理すると

$$ \frac{\log t\cdot \log(2a)-\log(2t)\cdot \log a}{\log a\cdot \log(2a)}\leqq 0 $$

となる。

分子を計算すると

$$ \begin{aligned} \log t\cdot \log(2a)-\log(2t)\cdot \log a &=\log t(\log 2+\log a)-(\log 2+\log t)\log a \\ &=\log 2,(\log t-\log a) \\ &=\log 2\cdot \log\frac{t}{a} \end{aligned} $$

である。$\log 2>0$ だから、不等式は

$$ \frac{\log \frac{t}{a}}{\log a\cdot \log(2a)}\leqq 0 $$

と同値である。

ここで $\log a\cdot \log(2a)$ の符号で場合分けする。

**(i)**

$a>1$ または $0<a<\dfrac12$ のとき

このとき

$$ \log a\cdot \log(2a)>0 $$

であるから

$$ \log\frac{t}{a}\leqq 0 $$

すなわち

$$ t\leqq a $$

を得る。もともと $t>0$ であるから

$$ 0<t\leqq a $$

である。$t=x^2-2x$ を戻すと

$$ 0<x^2-2x\leqq a $$

であり、

$$ x^2-2x-a\leqq 0 $$

より

$$ 1-\sqrt{a+1}\leqq x\leqq 1+\sqrt{a+1} $$

である。さらに $x^2-2x>0$ より $x<0$ または $x>2$ だから、解は

$$ 1-\sqrt{a+1}\leqq x<0,\qquad 2<x\leqq 1+\sqrt{a+1} $$

となる。

したがって

$$ 1-\sqrt{a+1}\leqq x<0\ \text{または}\ 2<x\leqq 1+\sqrt{a+1} $$

である。

**(ii)**

$\dfrac12<a<1$ のとき

このとき

$$ \log a\cdot \log(2a)<0 $$

であるから

$$ \log\frac{t}{a}\geqq 0 $$

すなわち

$$ t\geqq a $$

を得る。よって

$$ x^2-2x\geqq a $$

すなわち

$$ x^2-2x-a\geqq 0 $$

より

$$ x\leqq 1-\sqrt{a+1}\qquad \text{または}\qquad x\geqq 1+\sqrt{a+1} $$

となる。

このときは $a>0$ なので $x^2-2x\geqq a>0$ となり、真数条件も自動的に満たす。

解説

この問題の本質は、底の異なる対数不等式をそのまま単調性だけで処理しようとすると煩雑になる点にある。$t=x^2-2x$ とおいて換底公式で整理すると、最終的に

$$ \log\frac{t}{a} $$

の符号と

$$ \log a\cdot \log(2a) $$

の符号の比較に帰着する。

特に、$a$ の範囲が

$$ 0<a<\frac12,\qquad \frac12<a<1,\qquad a>1 $$

の3つに分かれることが重要である。

答え

$$ \begin{cases} 1-\sqrt{a+1}\leqq x<0\ \text{または}\ 2<x\leqq 1+\sqrt{a+1} & \left(0<a<\dfrac12\ \text{または}\ a>1\right),\\[1.2ex] x\leqq 1-\sqrt{a+1}\ \text{または}\ x\geqq 1+\sqrt{a+1} & \left(\dfrac12<a<1\right). \end{cases} $$