解説

方針・初手

まず

$$ 2<\log_2 6<3 $$

に注目する。与式は

$$ \log_2 6=m+\frac{1}{n+a} $$

であり、$0<a<1$ かつ $n$ は自然数であるから、$\dfrac{1}{n+a}$ の大きさを評価すれば $m$ が定まり、その後 $n$ も決まる。最後に $a$ を表して不等式を示す。

解法1

与式

$$ \log_2 6=m+\frac{1}{n+a} $$

において、$n$ は自然数、$0<a<1$ であるから

$$ n+a>1 $$

したがって

$$ 0<\frac{1}{n+a}<1 $$

である。

一方、

$$ 4<6<8 $$

より

$$ 2<\log_2 6<3 $$

である。よって $\log_2 6$ は整数 $m$ と $0$ より大きく $1$ より小さい数の和で表されているので、

$$ m=2 $$

でなければならない。

次に、$m=2$ を与式に代入すると

$$ \log_2 6=2+\frac{1}{n+a} $$

すなわち

$$ \frac{1}{n+a}=\log_2 6-2=\log_2 \frac{6}{4}=\log_2 \frac{3}{2} $$

となる。したがって

$$ n+a=\frac{1}{\log_2 \frac{3}{2}} $$

である。

ここで

$$ \sqrt{2}<\frac{3}{2}<2 $$

が成り立つ。実際、左側は $2<\dfrac{9}{4}$ と同値で正しい。よって対数関数の単調増加性から

$$ \frac{1}{2}<\log_2 \frac{3}{2}<1 $$

となる。

正の数の逆数をとると不等号が逆向きになって

$$ 1<\frac{1}{\log_2 \frac{3}{2}}<2 $$

すなわち

$$ 1<n+a<2 $$

を得る。

しかるに $0<a<1$ であるから、自然数 $n$ でこれを満たすものは

$$ n=1 $$

のみである。

したがって

$$ a=\frac{1}{\log_2 \frac{3}{2}}-1 $$

である。

次に （2） を示す。

$a>\dfrac{2}{3}$ を示すには、上の式から

$$ \frac{1}{\log_2 \frac{3}{2}}-1>\frac{2}{3} $$

すなわち

$$ \frac{1}{\log_2 \frac{3}{2}}>\frac{5}{3} $$

を示せばよい。両辺正であるから、さらに逆数をとって

$$ \log_2 \frac{3}{2}<\frac{3}{5} $$

を示せば十分である。

これは対数関数の単調増加性より

$$ \frac{3}{2}<2^{3/5} $$

と同値であり、さらに両辺を $5$ 乗すれば

$$ \left(\frac{3}{2}\right)^5<2^3 $$

と同値である。実際に計算すると

$$ \left(\frac{3}{2}\right)^5=\frac{243}{32},\qquad 2^3=8=\frac{256}{32} $$

であり、

$$ \frac{243}{32}<\frac{256}{32} $$

は明らかに成り立つ。よって

$$ \log_2 \frac{3}{2}<\frac{3}{5} $$

であり、したがって

$$ a>\frac{2}{3} $$

が示された。

解説

この問題の要点は、与式の右辺の

$$ \frac{1}{n+a} $$

が $0$ と $1$ の間にあることを使って、$\log_2 6$ の整数部分を読むことである。その後は

$$ \frac{1}{n+a}=\log_2 \frac{3}{2} $$

と変形し、$\dfrac{3}{2}$ を $\sqrt{2}$ と $2$ の間にはさむことで $n+a$ の範囲を決めればよい。

（2） では $a$ を直接近似計算する必要はなく、

$$ a=\frac{1}{\log_2 \frac{3}{2}}-1 $$

から対数の大小比較に持ち込むのが自然である。最終的には

$$ 3^5<2^8 $$

という整数の比較に帰着できる。

答え

**(1)**

$$ m=2,\qquad n=1 $$

である。

**(2)**

$$ a=\frac{1}{\log_2 \frac{3}{2}}-1 $$

であり、

$$ a>\frac{2}{3} $$

が成り立つ。