解説

方針・初手

底が $2$ と $\dfrac12$ で異なる対数が掛け合わされているので、まず同じ底にそろえるのが自然である。

$x>0$ が定義域であることを確認したうえで、$t=\log_2 x$ とおくと二次不等式に帰着できる。

解法1

まず、対数が定義されるためには

$$ 2x>0,\quad \frac{4}{x}>0 $$

でなければならない。したがって

$$ x>0 $$

である。

ここで

$$ t=\log_2 x $$

とおく。

すると

$$ \log_2 2x=\log_2 2+\log_2 x=1+t $$

であり、また

$$ \begin{aligned} \log_{\frac12}\frac{4}{x} &= -\log_2\frac{4}{x} \\ -\left(\log_2 4-\log_2 x\right) =-(2-t)=t-2 \end{aligned} $$

となる。

したがって、与えられた不等式は

$$ (1+t)(t-2)\geqq 4 $$

となる。これを整理すると

$$ t^2-t-2\geqq 4 $$

すなわち

$$ t^2-t-6\geqq 0 $$

である。因数分解して

$$ (t-3)(t+2)\geqq 0 $$

となるから、

$$ t\leqq -2 \quad \text{または} \quad t\geqq 3 $$

を得る。

$t=\log_2 x$ に戻すと

$$ \log_2 x\leqq -2 \quad \text{または} \quad \log_2 x\geqq 3 $$

より

$$ 0<x\leqq 2^{-2}=\frac14 \quad \text{または} \quad x\geqq 2^3=8 $$

である。

解説

$\log_{\frac12}a$ は $\log_2 a$ に直すと符号が反転することがポイントである。

$$ \log_{\frac12}a=-\log_2 a $$

を使って底をそろえれば、あとは $t=\log_2 x$ とおく標準的な処理で解ける。不等式であるが、最後に定義域 $x>0$ を忘れないことが重要である。

答え

$$ 0<x\leqq \frac14 \quad \text{または} \quad x\geqq 8 $$