解説

方針・初手

（1） は左辺が巡回的な形をしているので，因数分解を疑うのが自然である。実際，$(y-x)(z-y)(z-x)$ にまとめられる。

（2） は底が異なる対数の和であるから，まず換底公式で同じ種類の対数にそろえる。そのうえで $x=\log a,\ y=\log b,\ z=\log c$ とおくと （1） と同じ形に帰着する。

解法1

**(1)**

示すべき左辺を

$$ S=xy^2-x^2y+yz^2-y^2z+zx^2-z^2x $$

とおく。

これを展開を意識してまとめると，

$$ \begin{aligned} (y-x)(z-y)(z-x) &=(yz-y^2-xz+xy)(z-x)\\ &=yz^2-y^2z-xz^2+xy^2+x^2z-x^2y\\ &=xy^2-x^2y+yz^2-y^2z+zx^2-z^2x. \end{aligned} $$

したがって

$$ S=(y-x)(z-y)(z-x) $$

である。

ここで $x<y<z$ より

$$ y-x>0,\qquad z-y>0,\qquad z-x>0 $$

であるから，

$$ S=(y-x)(z-y)(z-x)>0 $$

となる。よって

$$ xy^2-x^2y+yz^2-y^2z+zx^2-z^2x>0 $$

が成り立つ。

**(2)**

対数の底をそろえるために自然対数を用い，

$$ x=\ln a,\qquad y=\ln b,\qquad z=\ln c $$

とおく。条件 $1<a<b<c$ より

$$ 0<x<y<z $$

である。

換底公式より，

$$ \log_a\frac{c}{b}=\frac{\ln(c/b)}{\ln a}=\frac{z-y}{x}, $$

$$ \log_b\frac{a}{c}=\frac{\ln(a/c)}{\ln b}=\frac{x-z}{y}, $$

$$ \log_c\frac{b}{a}=\frac{\ln(b/a)}{\ln c}=\frac{y-x}{z} $$

である。したがって左辺を $T$ とおくと，

$$ T=\frac{z-y}{x}+\frac{x-z}{y}+\frac{y-x}{z} $$

となる。

ここで $x,y,z>0$ なので $xyz>0$ である。よって $T>0$ を示すには，両辺に $xyz$ を掛けた

$$ xyz,T=yz(z-y)+zx(x-z)+xy(y-x) $$

が正であることを示せばよい。

右辺を展開すると，

$$ \begin{aligned} xyz,T &=yz^2-y^2z+zx^2-z^2x+xy^2-x^2y\\ &=xy^2-x^2y+yz^2-y^2z+zx^2-z^2x. \end{aligned} $$

これは （1） の左辺そのものであり，しかも $x<y<z$ であるから （1） より

$$ xyz,T>0 $$

が分かる。さらに $xyz>0$ であるから，

$$ T>0 $$

すなわち

$$ \log_a\frac{c}{b}+\log_b\frac{a}{c}+\log_c\frac{b}{a}>0 $$

が成り立つ。

解説

（1） の要点は，見た目が複雑でも巡回式を $(y-x)(z-y)(z-x)$ に因数分解できると見抜くことである。条件 $x<y<z$ は，この3因子がすべて正であることをそのまま意味する。

（2） の要点は，底の異なる対数をそのまま扱わないことである。換底公式で $\ln a,\ln b,\ln c$ を用いた式に直すと，（1） の巡回式に一致する。したがって （1） を準備問題としてそのまま利用できる。

答え

**(1)**

$$ xy^2-x^2y+yz^2-y^2z+zx^2-z^2x=(y-x)(z-y)(z-x)>0 $$

である。

**(2)**

$$ x=\ln a,\quad y=\ln b,\quad z=\ln c $$

とおくと $0<x<y<z$ であり，

$$ \log_a\frac{c}{b}+\log_b\frac{a}{c}+\log_c\frac{b}{a} =\frac{z-y}{x}+\frac{x-z}{y}+\frac{y-x}{z} $$

となる。これに $xyz$ を掛けると

$$ xy^2-x^2y+yz^2-y^2z+zx^2-z^2x $$

となり，（1） より正である。したがって

$$ \log_a\frac{c}{b}+\log_b\frac{a}{c}+\log_c\frac{b}{a}>0 $$

である。