解説

方針・初手

対数の底が $\dfrac{1}{2}$ であり、$0<\dfrac{1}{2}<1$ であることに注意する。

まず対数の定義域を確認し、その後で対数の和を1つにまとめる。底が $1$ より小さいので、不等式を指数の形に直すときに向きが逆になることがポイントである。

解法1

与えられた不等式は

$$ \log_{\frac12}(x+3)+\log_{\frac12}(x-1)>-5 $$

である。

まず、対数が定義されるためには

$$ x+3>0,\quad x-1>0 $$

でなければならない。したがって

$$ x>1 $$

である。

次に、対数の和をまとめると

$$ \log_{\frac12}\bigl((x+3)(x-1)\bigr)>-5 $$

となる。

ここで、底 $\dfrac12$ は $1$ より小さいので、対数関数は減少関数である。よって

$$ (x+3)(x-1)<\left(\frac12\right)^{-5} $$

となる。

さらに

$$ \left(\frac12\right)^{-5}=2^5=32 $$

より、

$$ (x+3)(x-1)<32 $$

すなわち

$$ x^2+2x-3<32 $$

であるから、

$$ x^2+2x-35<0 $$

となる。これを因数分解すると

$$ (x+7)(x-5)<0 $$

であるので、

$$ -7<x<5 $$

を得る。

これと定義域 $x>1$ をあわせると

$$ 1<x<5 $$

となる。

したがって、これをみたす整数 $x$ は

$$ x=2,3,4 $$

である。

よって最大値は $4$、最小値は $2$ である。

解説

この問題では、まず定義域 $x>1$ を落とさないことが重要である。

また、底が $\dfrac12$ のように $1$ より小さいとき、$\log_{\frac12}A>\log_{\frac12}B$ から $A<B$ となる。ここで不等式の向きが逆になる点が典型的な注意点である。

その後は二次不等式に直して整数条件を確認すればよい。

答え

最大値は $4$、最小値は $2$ である。