解説

方針・初手

$7$ を共通に含む対数が与えられているので、底の変換公式を用いて $\log_2 3$ をまず $a,b$ で表す。

その後、$\log_{48}72$ は $48,72$ を素因数分解して、$\log_2 3$ を使って整理すればよい。

解法1

まず、底の変換公式より

$$ a=\log_2 7=\frac{\log 7}{\log 2},\qquad b=\log_3 7=\frac{\log 7}{\log 3} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{a}{b} &= \frac{\log 7}{\log 2}\cdot \frac{\log 3}{\log 7} \\ \frac{\log 3}{\log 2} \\ \log_2 3 \end{aligned} $$

より、

$$ \log_2 3=\frac{a}{b} $$

である。

次に、$48,72$ を素因数分解すると

$$ 48=2^4\cdot 3,\qquad 72=2^3\cdot 3^2 $$

であるから、

$$ \log_{48}72=\frac{\log_2 72}{\log_2 48} $$

と変形して計算する。

ここで

$$ \log_2 72=\log_2(2^3\cdot 3^2)=3+2\log_2 3 $$

$$ \log_2 48=\log_2(2^4\cdot 3)=4+\log_2 3 $$

であるので、

$$ \begin{aligned} \log_{48}72 &= \frac{3+2\log_2 3}{4+\log_2 3} \end{aligned} $$

ここに $\log_2 3=\dfrac{a}{b}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} \log_{48}72 &= \frac{3+2\frac{a}{b}}{4+\frac{a}{b}} \\ \frac{3b+2a}{4b+a} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、与えられた $a,b$ から直接 $\log_2 3$ を作ることである。

$\log_2 7,\log_3 7$ の比をとると $\log_2 3$ が現れるのが典型的な処理であり、その後は $\log_{48}72$ を素因数分解して同じ形に落とし込めばよい。

答え

**(1)**

$$ \log_2 3=\frac{a}{b} $$

**(2)**

$$ \log_{48}72=\frac{3b+2a}{4b+a} $$