解説

方針・初手

与えられた式から $x,y,z$ をそれぞれ対数で表すと、逆数 $\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}$ は底の対数として簡単に書ける。

そこで、まず $x,y,z$ を対数で表し、その逆数の和をまとめて計算する。

解法1

$8^x=30$ より、

$$ x=\log_8 30=\frac{\log 30}{\log 8} $$

である。したがって、

$$ \frac{1}{x}=\frac{\log 8}{\log 30} $$

同様に、$27^y=30$ より

$$ \frac{1}{y}=\frac{\log 27}{\log 30} $$

また、$125^z=30$ より

$$ \frac{1}{z}=\frac{\log 125}{\log 30} $$

よって、

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =\frac{\log 8+\log 27+\log 125}{\log 30} $$

ここで、

$$ 8=2^3,\quad 27=3^3,\quad 125=5^3 $$

より、

$$ \log 8+\log 27+\log 125 =\log(8\cdot 27\cdot 125) =\log\bigl((2\cdot 3\cdot 5)^3\bigr) =\log(30^3) =3\log 30 $$

したがって、

$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =\frac{3\log 30}{\log 30} =3 $$

解説

この問題では、指数の形で与えられた文字をそのまま求めようとする必要はない。求めたいのは逆数の和なので、対数を用いて $\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}$ を直接表すのが最も自然である。

特に、$\log a+\log b=\log(ab)$ を使ってまとめると、$8\cdot 27\cdot 125=30^3$ となる点が決め手である。

答え

$$ 3 $$