基礎問題集
数学2 指数対数「対数関数」の問題18 解説
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解説
方針・初手
対数方程式では、まず真数条件を確認することが重要である。
この式では $\log_2(x^2+x-6)$ と $\log_2 x$ が現れているので、
$$ x^2+x-6>0,\quad x>0 $$
を満たす必要がある。
そのうえで、対数の差を1つの対数にまとめて方程式を処理する。
解法1
まず、真数条件を調べる。
$$ x^2+x-6=(x+3)(x-2) $$
であるから、
$$ x^2+x-6>0 $$
より、
$$ x<-3 \quad \text{または} \quad x>2 $$
である。
さらに $\log_2 x$ が定義されるためには
$$ x>0 $$
でなければならない。したがって、両方を合わせると
$$ x>2 $$
である。
次に、与えられた方程式
$$ \log_2(x^2+x-6)-\log_2 x=1 $$
に対して、対数の性質 $\log_a M-\log_a N=\log_a \dfrac{M}{N}$ を用いると
$$ \log_2\frac{x^2+x-6}{x}=1 $$
となる。
ここで、$\log_2 A=1$ ならば $A=2$ であるから、
$$ \frac{x^2+x-6}{x}=2 $$
を得る。
よって、
$$ x^2+x-6=2x $$
すなわち
$$ x^2-x-6=0 $$
である。
これを因数分解すると、
$$ (x-3)(x+2)=0 $$
より
$$ x=3,\,-2 $$
を得る。
しかし、真数条件から $x>2$ でなければならないので、$x=-2$ は不適である。
したがって、求める解は
$$ x=3 $$
である。
解説
この問題の要点は、対数を外す前に真数条件を必ず確認することである。
計算だけ見れば二次方程式から $x=3,-2$ が出るが、対数方程式では定義域に入らない解を除かなければならない。とくに $\log_2 x$ があるので $x>0$ を見落とさないことが重要である。
答え
$$ x=3 $$