解説

方針・初手

$xy=10^6$ という条件から、$\log_{10}x$ と $\log_{10}y$ の和が一定になることに注目する。

そこで

$$ a=\log_{10}x $$

とおくと、$\log_{10}y$ も $a$ を用いて表せるので、与式は $a$ の二次関数になる。あとは $10\leqq x\leqq 1000$ を $a$ の範囲に直して最大・最小を調べればよい。

解法1

$xy=10^6$ より、

$$ \log_{10}x+\log_{10}y=\log_{10}(xy)=\log_{10}10^6=6 $$

である。

ここで

$$ a=\log_{10}x $$

とおくと、

$$ \log_{10}y=6-a $$

となる。

したがって、求める値

$$ (\log_{10}x)(\log_{10}y) $$

は

$$ a(6-a)=-a^2+6a $$

と表される。

次に、$10\leqq x\leqq 1000$ より、

$$ 1\leqq \log_{10}x\leqq 3 $$

すなわち

$$ 1\leqq a\leqq 3 $$

である。

よって、$f(a)=-a^2+6a$ を区間 $1\leqq a\leqq 3$ で調べればよい。

平方完成すると、

$$ f(a)=-(a-3)^2+9 $$

であるから、最大値は $a=3$ のとき

$$ f(3)=9 $$

である。

また、この二次関数は上に凸であり、区間 $[1,3]$ における最小値は端点で生じる。実際、

$$ f(1)=5,\qquad f(3)=9 $$

なので、最小値は $5$ である。

したがって、最大値と最小値の差は

$$ 9-5=4 $$

である。

解説

条件 $xy=10^6$ から、対数をとると $\log_{10}x+\log_{10}y=6$ となり、2つの対数の和が一定になる。このとき積を調べる問題は、1文字に置き換えて二次関数として見るのが基本である。

本問では $a=\log_{10}x$ とおくことで、積が $a(6-a)$ という扱いやすい形になる。さらに、$x$ の範囲をそのまま $a$ の範囲 $1\leqq a\leqq 3$ に直すことが重要である。

答え

最大値は $9$、最小値は $5$ であるから、その差は

$$ 4 $$

である。