解説

方針・初手

与えられた対数方程式は，底を $a$ にそろえると $x$ と $y$ の関係式に直せる。

まず （1） で $y$ を $x$ の式で表し，その結果を （2） の $x-y$ に代入して，$x$ だけの2次式として最大値を求める。

解法1

与えられた等式

$$ \log_{\sqrt{a}} x=1+\log_a y $$

について，左辺を底 $a$ の対数に直すと，

$$ \begin{aligned} \log_{\sqrt{a}} x &= \frac{\log_a x}{\log_a \sqrt{a}} \\ \frac{\log_a x}{1/2} \\ 2\log_a x \end{aligned} $$

である。したがって，

$$ 2\log_a x=1+\log_a y $$

となる。

ここで $1=\log_a a$ であるから，

$$ 2\log_a x=\log_a a+\log_a y=\log_a(ay) $$

よって，

$$ \log_a x^2=\log_a(ay) $$

となり，対数の真数を比較して

$$ x^2=ay $$

を得る。したがって，

$$ y=\frac{x^2}{a} $$

である。

次に，

$$ x-y=x-\frac{x^2}{a} $$

であるから，これを平方完成すると，

$$ \begin{aligned} x-\frac{x^2}{a} &= -\frac{1}{a}\left(x^2-ax\right) \\ -\frac{1}{a}\left\{\left(x-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}\right\} \end{aligned} $$

すなわち，

$$ \begin{aligned} x-y &= \frac{a}{4}-\frac{1}{a}\left(x-\frac{a}{2}\right)^2 \end{aligned} $$

となる。

$a>0$ であるから，第2項は $0$ 以上であり，

$$ x-y\leqq \frac{a}{4} $$

である。等号は

$$ x-\frac{a}{2}=0 $$

すなわち

$$ x=\frac{a}{2} $$

のとき成り立つ。

このとき，

$$ \begin{aligned} y=\frac{x^2}{a} &= \frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2}{a} \\ \frac{a}{4} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は，底が $\sqrt{a}$ と $a$ で異なっているので，まず底を統一することである。

（1） ができれば （2） は $x-\dfrac{x^2}{a}$ という下に凸ではなく上に凸の2次式となるため，平方完成で最大値がすぐに求まる。微分を使わずに処理できる典型問題である。

答え

**(1)**

$$ y=\frac{x^2}{a} $$

**(2)**

$$ x-y の最大値は \frac{a}{4} $$

そのとき，

$$ x=\frac{a}{2},\quad y=\frac{a}{4} $$