解説

方針・初手

対数方程式では、まず真数条件と底の条件を確認することが重要である。

そのうえで、$\log_{x-1}(x^3-2x^2-2x+3)=3$ は

$$ x^3-2x^2-2x+3=(x-1)^3 $$

と書き換えられるので、あとはこれを解いて条件に合うものを残せばよい。

解法1

まず、対数が定義されるための条件を確認する。

底 $x-1$ について

$$ x-1>0,\quad x-1\ne 1 $$

より

$$ x>1,\quad x\ne 2 $$

である。

また、真数について

$$ x^3-2x^2-2x+3>0 $$

でなければならない。

さて、

$$ \log_{x-1}(x^3-2x^2-2x+3)=3 $$

より、対数の定義から

$$ x^3-2x^2-2x+3=(x-1)^3 $$

となる。

右辺を展開すると

$$ (x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1 $$

であるから、

$$ x^3-2x^2-2x+3=x^3-3x^2+3x-1 $$

となる。両辺の $x^3$ を消去して整理すると

$$ -2x^2-2x+3=-3x^2+3x-1 $$

すなわち

$$ x^2-5x+4=0 $$

である。これを因数分解すると

$$ (x-1)(x-4)=0 $$

より

$$ x=1,\ 4 $$

を得る。

ここで条件を確認する。

**(i)**

$x=1$ のとき、底 $x-1=0$ となり、対数は定義されない。

**(ii)**

$x=4$ のとき、底は $x-1=3$ であり、$3>0,\ 3\ne 1$ を満たす。また真数は

$$ 4^3-2\cdot 4^2-2\cdot 4+3=64-32-8+3=27>0 $$

となるので適する。

したがって、求める値は

$$ x=4 $$

である。

解説

この問題の要点は、$\log_a b=c$ を $b=a^c$ に直して方程式として処理することである。

ただし、対数では式変形だけで終わらせてはいけない。底の条件 $a>0,\ a\ne 1$ と真数条件 $b>0$ を最後に確認しないと、不適な解を残してしまう。この問題でも $x=1$ は方程式自体は満たすが、底が $0$ となるため除かれる。

答え

$$ x=4 $$