解説

方針・初手

各項は逆数の形になっているので、対数の基本公式

$$ \frac{1}{\log_a b}=\log_b a $$

を用いて式を簡単にするのが初手である。すると同じ底の対数の和になるので、積の対数にまとめられる。

解法1

関数を

$$ f(x)=\frac{1}{\log_x \frac18}+\frac{1}{\log_{1-x}\frac18} $$

とおく。

対数の変換公式より、

$$ \frac{1}{\log_x \frac18}=\log_{\frac18}x,\qquad \frac{1}{\log_{1-x}\frac18}=\log_{\frac18}(1-x) $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} f(x) &=\log_{\frac18}x+\log_{\frac18}(1-x)\\ &=\log_{\frac18}{x(1-x)} \end{aligned} $$

となる。

ここで $0<x<1$ より、

$$ x(1-x)=-x^2+x $$

は下に凸の2次関数であり、その最大値は $x=\frac12$ のとき

$$ x(1-x)\le \frac14 $$

である。

一方、対数関数 $y=\log_{\frac18}t$ は、底 $\frac18$ が $0<\frac18<1$ であるから、$t$ の増加に対して減少する。

よって $f(x)=\log_{\frac18}{x(1-x)}$ を最小にするには、$x(1-x)$ を最大にすればよい。したがって最小となるのは

$$ x=\frac12 $$

のときであり、その最小値は

$$ f\left(\frac12\right)=\log_{\frac18}\frac14 $$

である。

これを計算すると、

$$ \left(\frac18\right)^a=\frac14 $$

とおいて、

$$ (2^{-3})^a=2^{-2} $$

より

$$ -3a=-2 $$

となるので、

$$ a=\frac23 $$

である。したがって最小値は

$$ \frac23 $$

である。

解説

この問題の要点は、まず

$$ \frac{1}{\log_a b}=\log_b a $$

を使って式を整理することである。ここで無理に微分を使う必要はない。

整理後は

$$ \log_{\frac18}{x(1-x)} $$

となり、あとは $x(1-x)$ の最大値を考えるだけで済む。底が $1$ より小さいとき、対数関数は減少関数になることを見落とさないことが重要である。

答え

最小値は

$$ \frac23 $$

であり、そのとき

$$ x=\frac12 $$

である。