解説

方針・初手

求める形が $x=\log_{10}[ア]$, $y=-\log_{10}[イ]$ であるから、両式に常用対数をとって $x,y$ の連立一次方程式として処理するのが自然である。

また、$\log_{10}4+2\log_{10}5=\log_{10}100=2$ を使うと計算が整理しやすい。

解法1

与えられた連立方程式は

$$ 5^{2x}4^{y+1}=25,\qquad 4^x5^{2y}=1 $$

である。

両式に常用対数をとると、

$$ 2x\log_{10}5+(y+1)\log_{10}4=\log_{10}25 $$

$$ x\log_{10}4+2y\log_{10}5=0 $$

を得る。

$\log_{10}25=2\log_{10}5$ であるから、1本目は

$$ 2x\log_{10}5+y\log_{10}4=2\log_{10}5-\log_{10}4 $$

となる。

ここで

$$ a=\log_{10}4,\qquad b=\log_{10}5 $$

とおくと、連立方程式は

$$ 2bx+ay=2b-a $$

$$ ax+2by=0 $$

となる。

2本目より

$$ y=-\frac{a}{2b}x $$

である。これを1本目に代入すると、

$$ 2bx+a\left(-\frac{a}{2b}x\right)=2b-a $$

$$ \left(2b-\frac{a^2}{2b}\right)x=2b-a $$

両辺に $2b$ をかけて

$$ (4b^2-a^2)x=2b(2b-a) $$

ここで

$$ 4b^2-a^2=(2b-a)(2b+a) $$

であり、さらに

$$ 2b+a=2\log_{10}5+\log_{10}4=\log_{10}(25\cdot 4)=\log_{10}100=2 $$

だから、

$$ (4b^2-a^2)=(2b-a)\cdot 2 $$

となる。よって

$$ x=\frac{2b(2b-a)}{2(2b-a)}=b=\log_{10}5 $$

を得る。

次に 2本目に代入すると、

$$ a\log_{10}5+2by=0 $$

すなわち

$$ ab+2by=0 $$

より

$$ y=-\frac{a}{2}=-\frac{\log_{10}4}{2}=-\log_{10}2 $$

である。

したがって

$$ x=\log_{10}5,\qquad y=-\log_{10}2 $$

となる。

解説

指数方程式でも、未知数が指数にある場合は対数をとって一次方程式に直すのが基本である。

この問題では $\log_{10}4+2\log_{10}5=2$、すなわち $4\cdot 25=100$ という関係に気づくと、計算がきれいにまとまる。最後は $x,y$ を指定された $\log_{10}$ の形に合わせればよい。

答え

$$ x=\log_{10}5,\qquad y=-\log_{10}2 $$

したがって、

$$ [ア]=5,\qquad [イ]=2 $$