解説

方針・初手

$\log_{0.5}x$ を、底が $2$ の対数に直して整理するのが初手である。

特に $0.5=\dfrac12=2^{-1}$ であるから、

$$ \log_{0.5}x=\log_{1/2}x=-\log_2 x $$

を用いると、左辺を $x$ のべきに直せる。

解法1

まず、対数と分数指数が現れているので定義域より

$$ x>0 $$

である。

ここで

$$ \log_{0.5}x=-\log_2 x $$

より、左辺は

$$ 2^{\log_{0.5}x} =2^{-\log_2 x} =\frac{1}{2^{\log_2 x}} =\frac{1}{x} =x^{-1} $$

となる。

したがって、与えられた不等式

$$ 2^{\log_{0.5}x}\ge x^{-0.5} $$

は

$$ x^{-1}\ge x^{-1/2} $$

と同値である。

$x>0$ なので、両辺に正の数 $x$ を掛けても不等号の向きは変わらない。よって

$$ 1\ge x^{1/2} $$

すなわち

$$ \sqrt{x}\le 1 $$

である。

さらに $x>0$ を合わせると

$$ 0<x\le 1 $$

となる。

解説

この問題の要点は、$\log_{0.5}x$ をそのまま扱わず、底を $2$ に直して指数法則で処理することである。

$\log_{1/2}x=-\log_2x$ が分かれば、左辺は $2^{-\log_2x}=x^{-1}$ と一気に簡単になる。あとは正の範囲 $x>0$ を意識して不等式変形すればよい。

答え

$$ 0<x\le 1 $$