解説

方針・初手

底を $2$ にそろえて

$$ u=\log_2 x,\qquad v=\log_2 y $$

とおくと，不等式が $u,v$ の式に直せる。すると境界が直線になり，最後に $(x,y)$ 平面へ戻せばよい。

解法1

$x>0,\ y>0,\ x\neq 1,\ y\neq 1$ より，

$$ u=\log_2 x,\qquad v=\log_2 y $$

はともに $0$ ではない。

このとき，底の変換公式より

$$ \log_x y=\frac{\log_2 y}{\log_2 x}=\frac{v}{u},\qquad \log_y x=\frac{u}{v}, $$

また

$$ \log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}=\frac{1}{u},\qquad \log_y 2=\frac{1}{v} $$

である。したがって与えられた不等式は

$$ \frac{v}{u}+\frac{u}{v}>2+\frac{1}{uv} $$

となる。

両辺を整理すると，

$$ \frac{u^2+v^2}{uv}>2+\frac{1}{uv} $$

すなわち

$$ \frac{u^2-2uv+v^2-1}{uv}>0 $$

であるから，

$$ \frac{(u-v)^2-1}{uv}>0 $$

を得る。

ここで，分子と分母の符号を場合分けすると，

**(i)**

$uv>0$ のとき

$$ (u-v)^2-1>0 $$

すなわち

$$ |u-v|>1 $$

である。

**(ii)**

$uv<0$ のとき

$$ (u-v)^2-1<0 $$

すなわち

$$ |u-v|<1 $$

である。

以上を $x,y$ に戻す。

まず，

$$ uv=(\log_2 x)(\log_2 y) $$

だから，

• $uv>0$ は，$x,y$ がともに $1$ より大きいか，ともに $1$ より小さいことに対応する。
• $uv<0$ は，一方が $1$ より大きく，他方が $1$ より小さいことに対応する。

次に，

$$ u-v=\log_2 x-\log_2 y=\log_2\frac{x}{y} $$

であるから，

$$ |u-v|>1 $$

は

$$ \left|\log_2\frac{x}{y}\right|>1 $$

すなわち

$$ \frac{x}{y}>2\quad \text{または}\quad \frac{x}{y}<\frac12 $$

であり，

$$ y<\frac{x}{2}\quad \text{または}\quad y>2x $$

に等しい。

同様に，

$$ |u-v|<1 $$

は

$$ \frac12<\frac{x}{y}<2 $$

すなわち

$$ \frac{x}{2}<y<2x $$

に等しい。

よって求める範囲は，次の $4$ つの部分の和集合である。

$$ \begin{cases} x>1,\ y>1,\ \left(y>2x\ \text{または}\ y<\dfrac{x}{2}\right),\\[2mm] 0<x<1,\ 0<y<1,\ \left(y>2x\ \text{または}\ y<\dfrac{x}{2}\right),\\[2mm] x>1,\ 0<y<1,\ \dfrac{x}{2}<y<2x,\\[2mm] 0<x<1,\ y>1,\ \dfrac{x}{2}<y<2x. \end{cases} $$

したがって，第一象限において直線

$$ x=1,\qquad y=1,\qquad y=2x,\qquad y=\frac{x}{2} $$

で区切られる領域のうち，

• $x,y$ がともに $1$ より大きい部分，またはともに $1$ より小さい部分では，帯状領域 $\dfrac{x}{2}<y<2x$ の外側
• 一方が $1$ より大きく他方が $1$ より小さい部分では，帯状領域 $\dfrac{x}{2}<y<2x$ の内側

が求める範囲である。

なお，不等式は厳密不等号であり，また $x\neq 1,\ y\neq 1$ なので，境界線

$$ x=1,\qquad y=1,\qquad y=2x,\qquad y=\frac{x}{2} $$

はすべて含まない。

解説

この問題の本質は，$\log_x y,\ \log_y x$ のような相互に底と真数が入れ替わる形を，底を共通にして処理することである。$u=\log_2 x,\ v=\log_2 y$ とおけば，式は

$$ \frac{(u-v)^2-1}{uv}>0 $$

まで落ちる。

ここで，$uv$ の符号は $x,y$ が $1$ をはさんで同じ側にあるか反対側にあるかを表し，$|u-v|$ は結局 $\left|\log_2\frac{x}{y}\right|$ なので，境界が $y=2x,\ y=\dfrac{x}{2}$ になる。したがって，図示は「$x=1,\ y=1$ で象限的に分けること」と「$y=2x,\ y=\dfrac{x}{2}$ に対して内側か外側かを見ること」の組合せで決まる。

答え

求める範囲は

$$ \begin{cases} x>1,\ y>1,\ \left(y>2x\ \text{または}\ y<\dfrac{x}{2}\right),\\[2mm] 0<x<1,\ 0<y<1,\ \left(y>2x\ \text{または}\ y<\dfrac{x}{2}\right),\\[2mm] x>1,\ 0<y<1,\ \dfrac{x}{2}<y<2x,\\[2mm] 0<x<1,\ y>1,\ \dfrac{x}{2}<y<2x. \end{cases} $$

すなわち，第一象限で直線 $x=1,\ y=1,\ y=2x,\ y=\dfrac{x}{2}$ により分けられる領域のうち，

$x,y$ がともに $1$ の同じ側にあるときは $y=2x,\ y=\dfrac{x}{2}$ の外側，

$x,y$ が $1$ をはさんで反対側にあるときは $y=2x,\ y=\dfrac{x}{2}$ の内側

である。